Cho $a,b,c\geq0$ và $a+b+c=1$. chứng minh:
$\sum \frac{1}{a^{2}+bc} \geq 12$
Xét [tex]\sum a^2\leq 2\sum ab[/tex]
Khi đó [tex]\sum \dfrac{1}{a^{2}+bc}\geq \dfrac{9}{\sum a^2+\sum ab}\geq \dfrac{12}{(a+b+c)^2}=12[/tex]
Xét [tex]\sum a^2\geq 2\sum ab[/tex]
Kmtqgs [tex]a=max \left \{ a;b;c \right \}\Rightarrow \sum a(a-b-c)\geq 0\Rightarrow a-b-c\geq 0[/tex]
Khi đó
[tex]\sum \dfrac{ ab+bc+ca}{a^2+bc}\geq \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+bc}+\dfrac{4(ab+bc+ca)}{c^2+b^2+a(b+c)}\\ \geq 1+\dfrac{a(b+c-a)}{a^2+bc}+\dfrac{4(ab+ca)}{c^2+b^2+2bc+a(b+c)}\\ \geq 1+\dfrac{a(b+c-a)}{a^2}+\dfrac{4a(b+c)}{(b+c)(a+b+c)}=1+\dfrac{b+c-a}{a}+\dfrac{4a}{a+b+c}\\ =\dfrac{b+c+a}{a}+\dfrac{4a}{a+b+c}-1\geq 2\sqrt{\dfrac{b+c+a}{a}.\dfrac{4a}{a+b+c}}-1=3\\ \Rightarrow \sum \dfrac{1}{a^2+bc}\geq \dfrac{3}{ab+bc+ca}\geq \dfrac{12}{(a+b+c)^2}=12[/tex]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
