Toán 9 Bất đẳng thức

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c>0$ ta đều có
$\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\right)\left(\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\left(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}\right)\ge 1$
Mong mn giúp em ạ ! Đây là những câu em ko làm được ạ

 

[Alice_www]

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c>0$ ta đều có
$\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\right)\left(\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\left(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}\right)\ge 1$
Mong mn giúp em ạ ! Đây là những câu em ko làm được ạ

Ta có: $\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1-2=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}-2$
$=(a+b+c)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)-2\ge \dfrac{2(a+b+c)}{\sqrt(b+c)(c+a)}-2$
$\dfrac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{\sqrt{(b+c)(c+a)}}-2\ge \dfrac{(a+b)+2\sqrt{(b+c)(c+a)}}{\sqrt{(b+c)(c+a)}}-2=\dfrac{a+b}{\sqrt{(b+c)(c+a)}}$
Tương tự ta được: $\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{b+c}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}$
$\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}\ge \dfrac{a+c}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}$
Nhân vế với vế ta được đpcm
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé <3