Toán 9 Bất đẳng thức

[Duy Quang Vũ 2007]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]a,b,c>0;ab+bc+ca+abc=4[/tex]. Chứng minh rằng:
[tex]\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leq 3[/tex]

 

[Lê.T.Hà]

[tex]\Leftrightarrow abc+2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+8=ab+bc+ca+4a+4b+4c+12[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a+2)(b+2)(c+2)=(a+2)(b+2)+(b+2)(c+2)+(c+2)(a+2)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 1=\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2} \geq \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{a+b+c+6}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a+b+c+6 \geq a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})[/tex]