Cho [tex]a,b,c>0; ab+bc+ca=1[/tex]. Chứng minh rằng:
[tex]2abc(a+b+c)\leq \frac{5}{9}+a^4 b^2 +b^4 c^2 +c^4 a^2[/tex]
Ta có BĐT quen thuộc sau : [tex]x^2+y^2+z^2\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}\geq xy+yz+zx[/tex]
Do đó : [tex]abc(a+b+c)\leq \dfrac{\left ( ab+bc+ca \right )^2}{3}=\frac{1}{3}[/tex]
Và [tex]a^4 b^2 +b^4 c^2 +c^4 a^2\geq a^2b.b^2c+b^2c.c^2a+c^2a.a^2b\\=abc\left (ab^2+bc^2+ca^2+ \dfrac{1}{9a}+\dfrac{1}{9b}+\dfrac{1}{9c}-\dfrac{1}{9a}-\dfrac{1}{9b}-\dfrac{1}{9c} \right )\\ \geq^{AM-GM} abc\left (\dfrac{2a}{3}+\dfrac{2b}{3}+\dfrac{2c}{3}-\dfrac{1}{9a}-\dfrac{1}{9b}-\dfrac{1}{9c} \right )\\=\dfrac{2}{3}abc(a+b+c)-\dfrac{bc+ca+ab}{9}\\ =\dfrac{2}{3}abc(a+b+c)-\dfrac{1}{9}\\[/tex]
[tex]\Rightarrow a^4 b^2 +b^4 c^2 +c^4 a^2+\dfrac{5}{9}\\\geq \dfrac{2}{3}abc(a+b+c)-\dfrac{1}{9}+\dfrac{5}{9}\\ \geq \dfrac{2}{3}abc(a+b+c)+\dfrac{4}{3}abc(a+b+c)=2abc(a+b+c)[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
