cho các số thực a,b,c sao cho [tex]a_{}^{2}+b_{}^{2}+c_{}^{2}=2[/tex]
Chứng minh:[tex]\left | a^{3}+b^{3}+c^{3}-abc \right |\leqslant 2\sqrt{2}[/tex]
$\left | a^{3}+b^{3}+c^{3}-abc \right |=\sqrt{(a^{3}+b^{3}+c^{3}-abc)^2}\\ =\sqrt{((a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^{2}-ab))^2}\leq \sqrt{[(a+b)^2+c^2][(a^2-ab+b^2)^2+(c^2-ab)^2]}\\ =\sqrt{(2+2ab)[(2-c^2-ab)^2+(c^2-ab)^2]}\\ =\sqrt{(2+2ab)(2a^2b^2-4ab+2c^2(c^2-2)+4)}\\ \leq \sqrt{(2+2ab)(2a^2b^2-4ab+4)}(\textrm{do $c^2-2=-a^2-b^2\leq 0$})\\ =2\sqrt{(1+ab)(a^2b^2-2ab+2)}\\ \textrm{ta đi chứng minh :}
2\sqrt{(1+ab)(a^2b^2-2ab+2)}\leq 2\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow (1+ab)(a^2b^2-2ab+2)\leq 2\\ \Leftrightarrow a^2b^2(ab-1)\leq 0\\ \Leftrightarrow ab\leq 1\\
\textrm{điều này đúng do $2=a^2+b^2+c^2 \ge 2ab+0 \Rightarrow 1\geq ab$}$
Do đó ta được điều phải chứng minh
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^ !
Ngoài ra bạn có thể xem thêm tài liệu tại đây nha :
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...o-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/#post-4045397
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
