Toán 9 bất đẳng thức

[fghjkkkkklqwertyuiooopzxcvbnm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn [tex]3(a^{_{}^{2}}+b_{}^{2}+c_{}^{2})+ab+bc+ca=12[/tex]
chứng minh rằng [tex]22\leqslant \frac{ a_{}^{2}+b_{}^{2}+c_{}^{2} }{ a+b+c}+ab+bc+ca\leqslant 32[/tex]

 

[7 1 2 5]

Sửa đề: [TEX]2\leqslant \frac{ a_{}^{2}+b_{}^{2}+c_{}^{2} }{ a+b+c}+ab+bc+ca\leqslant 4[/TEX]

Đặt [TEX]p=a+b+c,q=ab+bc+ca \Rightarrow p,q \geq 0;p^2 \geq 3q; 3p^2-5q=12[/TEX]
Ta có: [TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}+ab+bc+ca=\frac{p^2-2q}{p}+q=\frac{p^2-2.\frac{3p^2-12}{5}}{p}+\frac{3p^2-12}{5}=\frac{3p^3-p^2-12p+24}{5p}[/TEX]
Vì [TEX]12=3p^2-5q \leq 3p^2 \Rightarrow p \geq 2; 12=3p^2-5q \geq 3p^2-5.\frac{p^2}{3}=\frac{4p^2}{3} \Rightarrow p^2 \leq 9 \Rightarrow p \leq 3[/TEX]
Suy ra [TEX]\frac{3p^3-p^2-12p+24}{5p}-2=\frac{3p^3-p^2-22p+24}{5p}=\frac{(p-2)(3p^2+5p-12)}{5p} \geq 0 \Rightarrow \frac{3p^3-p^2-12p+24}{5p} \geq 2[/TEX]
Dấu "=" xảy ra tại [TEX]p=2 \Leftrightarrow a=b=0,c=2[/TEX] và các hoán vị.
[TEX]\frac{3p^3-p^2-12p+24}{5p}-4=\frac{3p^3-p^2-32p+24}{5p}=\frac{(p-3)(3p^2+8p-8)}{5p} \leq 0 \Rightarrow \frac{3p^3-p^2-12p+24}{5p} \leq 4[/TEX]
Dấu "=" xảy ra tại [TEX]p=3 \Leftrightarrow a=b=c=1[/TEX]

Nếu có thắc mắc gì thì bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Chúc bạn học tốt.

 

[fghjkkkkklqwertyuiooopzxcvbnm]

đề đúng mà anh,sao lại sửa đề là thế nào

Sửa đề: [TEX]2\leqslant \frac{ a_{}^{2}+b_{}^{2}+c_{}^{2} }{ a+b+c}+ab+bc+ca\leqslant 4[/TEX]

Đặt [TEX]p=a+b+c,q=ab+bc+ca \Rightarrow p,q \geq 0;p^2 \geq 3q; 3p^2-5q=12[/TEX]
Ta có: [TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}+ab+bc+ca=\frac{p^2-2q}{p}+q=\frac{p^2-2.\frac{3p^2-12}{5}}{p}+\frac{3p^2-12}{5}=\frac{3p^3-p^2-12p+24}{5p}[/TEX]
Vì [TEX]12=3p^2-5q \leq 3p^2 \Rightarrow p \geq 2; 12=3p^2-5q \geq 3p^2-5.\frac{p^2}{3}=\frac{4p^2}{3} \Rightarrow p^2 \leq 9 \Rightarrow p \leq 3[/TEX]
Suy ra [TEX]\frac{3p^3-p^2-12p+24}{5p}-2=\frac{3p^3-p^2-22p+24}{5p}=\frac{(p-2)(3p^2+5p-12)}{5p} \geq 0 \Rightarrow \frac{3p^3-p^2-12p+24}{5p} \geq 2[/TEX]
Dấu "=" xảy ra tại [TEX]p=2 \Leftrightarrow a=b=0,c=2[/TEX] và các hoán vị.
[TEX]\frac{3p^3-p^2-12p+24}{5p}-4=\frac{3p^3-p^2-32p+24}{5p}=\frac{(p-3)(3p^2+8p-8)}{5p} \leq 0 \Rightarrow \frac{3p^3-p^2-12p+24}{5p} \leq 4[/TEX]
Dấu "=" xảy ra tại [TEX]p=3 \Leftrightarrow a=b=c=1[/TEX]

Nếu có thắc mắc gì thì bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Chúc bạn học tốt.

đề đúng mà anh

 

[kido2006]

đề đúng mà anh,sao lại sửa đề là thế nào

đề đúng mà anh

Anh Mộc Nhãn đã chứng minh được $\frac{ a_{}^{2}+b_{}^{2}+c_{}^{2} }{ a+b+c}+ab+bc+ca \le 4$

Nghĩa là điều $22 \le \frac{ a_{}^{2}+b_{}^{2}+c_{}^{2} }{ a+b+c}+ab+bc+ca $ là sai

Còn $\frac{ a_{}^{2}+b_{}^{2}+c_{}^{2} }{ a+b+c}+ab+bc+ca \le 4 < 32$ thì lại không xảy ra dấu bằng

Nên đề của bạn sai nhé ^^