Toán 10 Bất Đẳng Thức

[kido2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng :

$a^2+b^2+c^2+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \ge 6$​

@Mộc Nhãn ,@Lê.T.Hà Help me!!
Cảm ơn mọi người nhiều !!

 

[Lê.T.Hà]

Đồng bậc 2 vế:
[tex]3(a^2+b^2+c^2)+3\sum \sqrt{ab}=2.9\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) \geq 2(a+b+c)^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) \geq 4(ab+bc+ca)[/tex]
Có:
[tex](a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+\sqrt{ab}(a+b)+\sqrt{bc}(b+c)+\sqrt{ca}(c+a)[/tex]
[tex]\geq \sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+2(ab+bc+ca)[/tex]
Nên chỉ cần chứng minh:
[tex]a^2+b^2+c^2+\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq 2(ab+bc+ca)[/tex]
Đây là dạng yếu hơn của BĐT Schur bậc 4