Cho x,y,z là các số thực dương thỏa x+y+z=3xyz. Chứng minh [tex]\frac{y^2}{x^3(3y^2+1)}+\frac{z^2}{y^3(3z^2+1)}+\frac{x^2}{z^3(3x^2+1)}\geq \frac{3}{4}[/tex]
Mọi người giép em với ạ
Đặt [tex]\left ( \frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{c} \right )\rightarrow (a,b,c)\\ \Rightarrow ab+bc+ca=3[/tex]
Và đẳng thức cần chứng minh [tex]\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{3+b^2}\geq \frac{3}{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{3+b^2}=\sum \frac{a^3}{ab+bc+ca+b^2}=\sum \frac{a^3}{(b+c)(c+a)}\geq \frac{3}{4}[/tex]
Có [tex]\frac{a^3}{(b+c)(c+a)}+\frac{b+c}{8}+\frac{c+a}{8}\geq ^{A-G}\frac{3a}{4}\\ \Rightarrow \frac{a^3}{(b+c)(c+a)}\geq \frac{3a}{4}-\frac{b+c}{8}-\frac{c+a}{8}[/tex]
Tương tự rồi cộng vế ta được
[tex]\sum \frac{a^3}{(b+c)(c+a)}\geq \sum (\frac{3a}{4}-\frac{b+c}{8}-\frac{c+a}{8})=\frac{a+b+c}{4}\\\geq \frac{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{4}=\frac{\sqrt{3.3}}{4}=\frac{3}{4}[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^ !
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...c-mon-danh-cho-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
