Toán 9 Bất đẳng thức

[minhsy1006@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]a,b,c>0[/tex] . Chứng minh :[tex]\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b+c)^3}{abc}\geq 28[/tex]

 

[7 1 2 5]

Đặt [TEX]p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc[/TEX]
Theo BĐT Cauchy ta có: [TEX](a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 9abc \Rightarrow pq \geq 9r[/TEX]
Từ đó [TEX]VT \geq \frac{q}{p^2-2q}+\frac{9p^3}{pq}=\frac{q}{p^2-2q}+\frac{9p^2}{q}=\frac{q}{p^2-2q}+\frac{9(p^2-2q)}{q}+18[/TEX]
Bây giờ ta đặt [TEX]\frac{q}{p^2-2q}=t \Rightarrow t \leq \frac{q}{3q-2q}=1[/TEX]
Ta có: [TEX]\frac{q}{p^2-2q}+\frac{9(p^2-2q)}{q}=t+\frac{9}{t}=t+\frac{1}{t}+\frac{8}{t} \geq 2\sqrt{t.\frac{1}{t}}+8=10 \Rightarrow VT \geq 10+18=28[/TEX]

Nếu bạn có thắc mắc gì thì có thể hỏi tại đây chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Chúc bạn học tốt.

 

[Lê.T.Hà]

[tex]\dfrac{(a+b+c)^3}{abc}=(a+b+c)^2\left ( \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc} +\dfrac{1}{ca}\right )\geq (a+b+c)^2\dfrac{9}{ab+bc+ca}=9.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+18[/tex]
[tex]\Rightarrow P \geq \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+9.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+18[/tex] [tex]=\left ( \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \right )+8.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+18 \geq 2+8+18[/tex]