Cho hai số a, b dương thỏa mãn a+b=2. TÌm GTLN của [tex]P=\sqrt{2(a^2+b^2)}+4\sqrt{a}+4\sqrt{b}[/tex]
[tex]P=\sqrt{2(a^2+b^2)}+4\sqrt{a}+4\sqrt{b}=P=\sqrt{2(a+b)^2-4ab}+4\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{8-4ab}+4\sqrt{2+2\sqrt{ab}}[/tex]
Đặt $0<t=ab \le \frac{(a+b)^2}4=1$
[tex]\Rightarrow P=\sqrt{8-4t}+4\sqrt{2+2\sqrt{t}}=2\sqrt{2-t}+4\sqrt{2+2\sqrt{t}}[/tex]
Ta đi chứng minh [tex]P\leq 10[/tex] hay [tex]\sqrt{2-t}+2\sqrt{2+2\sqrt{t}}\leq 5[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 10-t+8\sqrt{t}+4\sqrt{2-t}.\sqrt{2+2\sqrt{t}}\leq 25[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4\sqrt{2-t}.\sqrt{2+2\sqrt{t}}\leq 15+t-8\sqrt{t}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (4\sqrt{2-t}.\sqrt{2+2\sqrt{t}})^2\leq (15+t-8\sqrt{t})^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -(\sqrt{t}-1)^2(t+18\sqrt{t}+161)\leq 0[/tex] (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi $t=1$ hay $a=b=1$
Mình chưa tìm được lời giải đẹp cho câu này nên bạn tham khảo nhé ^^
Nếu còn thắc mắc bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
