Toán 9 Bất đẳng thức

[Quan912]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh BĐT sau:[tex]a^8+b^8\geq a^2b^6+b^2a^6[/tex] với mọi a,b [tex]\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^4b^4(a^4+b^4)-a^2b^2(b^4+a^4)\geq 0 \Leftrightarrow (a^4+b^4)\left [(ab)^4-(ab)^2\right ]\geq 0 \Leftrightarrow (a^4+b^4)(ab)^2[(ab)^2-1]\geq 0 \Leftrightarrow (a^4+b^4)(ab)^2(ab-1)(ab+1)\geq 0[/tex]
Em chứng minh được tới đây ạ em đang thắc mắc là khi mình chứng minh "dấu bằng xảy ra khi" thì mình phải xét từng cái ngoặc hay sao ạ với lại diễn đàn mình đã có chuyên đề cm bất đẳng thức chưa cho em xin link với. Cảm ơn mọi người

 

[7 1 2 5]

Chứng minh BĐT sau:[tex]a^8+b^8\geq a^2b^6+b^2a^6[/tex] với mọi a,b [tex]\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^4b^4(a^4+b^4)-a^2b^2(b^4+a^4)\geq 0 \Leftrightarrow (a^4+b^4)\left [(ab)^4-(ab)^2\right ]\geq 0 \Leftrightarrow (a^4+b^4)(ab)^2[(ab)^2-1]\geq 0 \Leftrightarrow (a^4+b^4)(ab)^2(ab-1)(ab+1)\geq 0[/tex]

Nếu không có điều kiện [TEX]ab \geq 1[/TEX] thì BĐT đó không đúng nhé. Còn xét dấu "=" thì ta chỉ cần chỉ ra dấu "=" xảy ra tại lúc nào là đủ, không cần thiết lúc nào cũng phải xét từng biểu thức nhỏ nhé.
Còn diễn đàn của mình đang chuẩn bị triển khai chuyên đề BĐT nhé, bạn có thể chờ thêm 1 ít thời gian đến lúc đó nhé.

 

[iceghost]

Chứng minh BĐT sau:[tex]a^8+b^8\geq a^2b^6+b^2a^6[/tex] với mọi a,b [tex]\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^4b^4(a^4+b^4)-a^2b^2(b^4+a^4)\geq 0 \Leftrightarrow (a^4+b^4)\left [(ab)^4-(ab)^2\right ]\geq 0 \Leftrightarrow (a^4+b^4)(ab)^2[(ab)^2-1]\geq 0 \Leftrightarrow (a^4+b^4)(ab)^2(ab-1)(ab+1)\geq 0[/tex]
Em chứng minh được tới đây ạ em đang thắc mắc là khi mình chứng minh "dấu bằng xảy ra khi" thì mình phải xét từng cái ngoặc hay sao ạ với lại diễn đàn mình đã có chuyên đề cm bất đẳng thức chưa cho em xin link với. Cảm ơn mọi người

Ngay từ bước đầu tiên, bạn có một bước làm khá là tắt, và sai luôn ngay từ chỗ đó Bạn có thể kiểm tra lại ngay từ dấu tương đương đầu tiên nhé.

$a^8 + b^8 \geqslant a^2 b^6 + b^2 a^6$

$\iff (a^8 - a^2 b^6) + (b^8 - b^2 a^6) \geqslant 0$

$\iff a^2(a^6 - b^6) + b^2 (b^6 - a^6) \geqslant 0$

$\iff (a^6 - b^6)(a^2 - b^2) \geqslant 0$

$\iff (a^2 - b^2)^2 (a^4 + a^2 b^2 + b^4) \geqslant 0$

Do $(a^2 - b^2)^2 \geqslant 0$ và $a^4 + a^2b^2 + b^4 \geqslant 0$ nên bđt luôn đúng

Vậy ta có đpcm.

Dấu '=' xảy ra khi $a^2 - b^2 = 0$ hoặc $a^4 + b^2b^2 + b^4 = 0$. Bạn có thể tự giải ra tiếp nhé.

 

[Quan912]

Ngay từ bước đầu tiên, bạn có một bước làm khá là tắt, và sai luôn ngay từ chỗ đó Bạn có thể kiểm tra lại ngay từ dấu tương đương đầu tiên nhé.

$a^8 + b^8 \geqslant a^2 b^6 + b^2 a^6$

$\iff (a^8 - a^2 b^6) + (b^8 - b^2 a^6) \geqslant 0$

$\iff a^2(a^6 - b^6) + b^2 (b^6 - a^6) \geqslant 0$

$\iff (a^6 - b^6)(a^2 - b^2) \geqslant 0$

$\iff (a^2 - b^2)^2 (a^4 + a^2 b^2 + b^4) \geqslant 0$

Do $(a^2 - b^2)^2 \geqslant 0$ và $a^4 + a^2b^2 + b^4 \geqslant 0$ nên bđt luôn đúng

Vậy ta có đpcm.

Dấu '=' xảy ra khi $a^2 - b^2 = 0$ hoặc $a^4 + b^2b^2 + b^4 = 0$. Bạn có thể tự giải ra tiếp nhé.

Anh cho em hỏi chỗ [tex]a^4+a^2b^2+b^4[/tex] mình phân tích sao vậy ạ. Em cảm ơn

 

[kido2006]

Anh cho em hỏi chỗ [tex]a^4+a^2b^2+b^4[/tex] mình phân tích sao vậy ạ. Em cảm ơn

$a^4+a^2b^2+b^4=(a^4+a^2b^2+\frac{b^4}4)+\frac{3b^4}4=(a^2+\frac{b^2}2)^2+\frac{3b^4}4 \ge 0$
Đẳng thức xảy ra khi $a^4+a^2b^2+b^4=0$...