Toán 9 Bất đẳng thức

[Nguyễn Minh Sơn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]x,y,z>0;x+y+z\leq \frac{3}{2}[/tex]. Chứng minh rằng [tex]\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \frac{3}{2}\sqrt{17}[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

[tex]\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}=\sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{16(x+y+z)^2}+\frac{15.81}{16(x+y+z)^2}}\geq \sqrt{\frac{9}{2}+\frac{15.81}{16.\frac{9}{4}}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}[/tex]

 

[Tiểu Bạch Lang]

Đặt VT=A
Ta có [tex]\frac{\sqrt{17}}{2}\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^2}}=\sqrt{(\frac{1}{4}+4)(x^2+\frac{1}{x^2})}\geq \frac{x}{2}+\frac{2}{x}[/tex];
[tex]\frac{x}{2}+\frac{2}{x}= \frac{x}{2}+\frac{1}{8x}+\frac{15}{8x}\geq \frac{1}{2}+\frac{15}{8x}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{\sqrt{17}}{2}A\geq \frac{3}{2}+\frac{15}{8}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{3}{2}+\frac{15.9}{8(x+y+z)}\geq \frac{3}{2}+\frac{45}{4}=\frac{51}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow A\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}[/tex]
Dấu bằng xảy ra [tex]\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}[/tex]