Toán 9 Bất đẳng thức

[Nguyễn Minh Sơn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng: [tex]\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{y^2-yz+z^2}\geq \sqrt{z^2+zx+x^2}[/tex]

 

[Lê.T.Hà]

[tex]LHS=\sqrt{\dfrac{3}{4}x^2+\left ( y-\dfrac{x}{2} \right )^2}+\sqrt{\dfrac{3}{4}z^2+\left ( \dfrac{z}{2}-y \right )^2}\geq \sqrt{\dfrac{3}{4}(x+z)^2+\left ( \dfrac{z}{2}-\dfrac{x}{2} \right )^2}=RHS[/tex]

 

[7 1 2 5]

Một cách giải khác khá là đẹp đẽ:
Ta thấy [TEX]VT[/TEX] đạt min khi [TEX]x,y,z[/TEX] cùng dấu, [TEX]VP[/TEX] đạt max khi [TEX]x,z[/TEX] cùng dấu nên không mất tính tổng quát giả sử [TEX]x,y,z \geq 0[/TEX]
Ta dựng hình như sau:
Khi đó theo định lí cos, ta có [TEX]AB=\sqrt{x^2-xy+y^2},BC=\sqrt{y^2-yz+z^2},AC=\sqrt{x^2+xz+z^2}[/TEX].
Theo bất đẳng thức 3 điểm thì [TEX]AB+BC \geq AC [/TEX] nên ta có đpcm.