Toán 10 Bất đẳng thức

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho $a,b,c >0$ chứng minh rằng $\displaystyle \sum \sqrt{\dfrac{a}{a+b}} \le \dfrac{3}{\sqrt2}$
2. Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng $\displaystyle \sum \sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}} \le \dfrac{3}{\sqrt2}$
3. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Chứng minh rằng
$(x^3+x+1)(y^3+y+1)(z^3+z+1) \le 27 $

Mong mn giúp em 3 câu này ạ

 

[kido2006]

View attachment 182211
Mong mn giúp em 3 câu này ạ

1;[tex]\Leftrightarrow \sum \sqrt{\dfrac{2a}{a+b}} \leq 3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sum \sqrt{\dfrac{2a(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\leq 3[/tex]
Thật vậy [tex]\sum \sqrt{\dfrac{2a(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}=\sum \sqrt{\dfrac{2(ab+ac)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\leq ^{C-S}\sqrt{(\sum c+a)(\sum \dfrac{2ab+2ac}{(a+b)(b+c)(c+a)})}=\sqrt{8(a+b+c)(\dfrac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)})}[/tex]
Ta có bổ đề sau [tex]8(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)[/tex]
Do đó [tex]\sum \sqrt{\dfrac{2a(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\leq \sqrt{8(a+b+c)(\dfrac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)})} \le 3[/tex] (đpcm)
2, Đặt [tex](\dfrac{b}{a};\dfrac{c}{b};\dfrac{a}{c})=(x;y;z)[/tex] ta quay về với bài toán 1

 

[Lê.T.Hà]

Câu cuối chỉ cần sử dụng đẳng thức: [tex](x-1)^4+4(x^3+x+1)=(x^2+1)(x^2+5)[/tex] là ra
[tex](x^2+1)(x^2+5)=(x-1)^4+4(x^3+x+1) \geq 4(x^3+x+1)[/tex]
Nhân vế:
[tex]VT\leq \dfrac{1}{64}(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)(x^2+5)(y^2+5)(z^2+5) \leq \dfrac{1}{64}.\dfrac{1}{27}(x^2+y^2+z^2+3)^3.\dfrac{1}{27}(x^2+y^2+z^2+15)^3[/tex]

 

[Cheems]

Câu cuối chỉ cần sử dụng đẳng thức: [tex](x-1)^4+4(x^3+x+1)=(x^2+1)(x^2+5)[/tex] là ra
Mò mất gần 30ph :<

Anh/Chị trình bày chi tiết được không ạ ?