Đây là Balkan MO 2011 nhé. Những lời giải sau đây từ sưu tầm.
Cách 1:
$x^2=(y+z)^2\leq2(y^2+z^2)\implies 3x^2\leq2(x^2+y^2+z^2)$
$\dfrac{(2x+1)^2}{2x^2+1}+\dfrac{(2y+1)^2}{2y^2+1}+\dfrac{(2z+1)^2}{2z^2+1}$ $\geq\dfrac{3(2x+1)^2}{4(x^2+y^2+z^2)+3}+\dfrac{3(2y+1)^2}{4(x^2+y^2+z^2)+3}+\dfrac{3(2z+1)^2}{4(x^2+y^2+z^2)+3}=3$
$\implies \dfrac{(2x+1)^2}{2x^2+1}+\dfrac{(2y+1)^2}{2y^2+1}+\dfrac{(2z+1)^2}{2z^2+1}\ge 3$
$\iff\dfrac{x(x+2)}{2x^2+1}+\dfrac{y(y+2)}{2y^2+1}+\dfrac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0$
Cách 2:
$\frac{x(x+2)}{2x^2+1}=\frac{(2x+1)^2}{2(2x^2+1)}-\frac{1}{2}$
Ta cần chứng minh $\sum \frac{(2x+1)^2}{2x^2+1} \ge 3$
$2x^2=\frac{4}{3}x^2+\frac{2}{3}(y+z)^2 \le \frac{4}{3}x^2+\frac{4}{3}(y^2+z^2)$
$\Rightarrow \sum \frac{(2x+1)^2}{2x^2+1} \ge 3\sum \frac{(2x+1)^2}{4(x^2+y^2+z^2)+3}=3$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
