Toán 9 Bất đẳng thức

[huyenhuyen5a12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c[tex]\geq 0, a+b+c=1[/tex]
CMR : [tex]0\leq ab+bc+ca -2abc\leq \frac{7}{27}[/tex]

 

[Darkness Evolution]

+) Chứng minh $ab+bc+ca-2abc \ge 0$
Từ giả thiết, ta thấy $0\le a, b, c\le 1$
$\Rightarrow 0 \le abc \le 1$
Suy ra $ab+bc+ca-2abc \ge 3 \sqrt[3]{ab\cdot bc \cdot ca}-2abc =3(abc)^\frac{2}{3}-2abc \ge 3abc-2abc=abc \ge 0$
Dấu "=" xảy ra khi $(a;b;c)=(0;0;1)$ và các hoán vị
+) Chứng minh $ab+bc+ca-2abc \le \frac{7}{27}$
Bây giờ là chứng minh bổ đề $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc$ (Dùng nguyên bất đẳng thức AM-GM)
Quay trở lại bài toán, ta có
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc$
$\Leftrightarrow (1-2a)(1-2b)(1-2c) \le abc$
$\Leftrightarrow 1-2(a+b+c)+4(ab+bc+ca)-8abc \le abc$
$\Leftrightarrow 4(ab+bc+ca-2abc) \le 1+abc \le 1+ \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{28}{27}$
$\Rightarrow ab+bc+ca-2abc \le \frac{7}{27}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

 

[Tiểu Bạch Lang]

CM: [tex]\ ab+bc+ca-2abc\geq 0[/tex]
Giả sử [tex]0\leq a\leq b\leq c[/tex]
Ta có a+b+c=1 [tex]\Rightarrow a+b\leq 1\Rightarrow 2a\leq a+b\leq 1[/tex] [tex]\Rightarrow 1-2a\geq 0[/tex]
Vì[tex]ab+bc+ca-2abc=ab+ca+bc(1-2a)[/tex] ; do [tex]a\geq 0,b\geq 0,c\geq 0,1-2a\geq 0[/tex]
[tex]\Rightarrow ab+bc+ca-2abc\geq 0[/tex]
Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow (a,b,c)= (0,0,1)[/tex] và các hoán vị