Bài: Cho ba số thực dương a,b,c. Tìm GTLN của P=[tex]\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}[/tex]
Các bác giúp em với ạ.
Theo mình a,b,c là các số nguyên dương thì mới có thể làm được bài này
Theo AM-GM có: [tex]\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\\ (a+1)(b+1)(c+1)\leq \frac{(a+b+c+3)^3}{27} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{3}}{a+b+c}-\frac{54}{(a+b+c+3)^3}[/tex]
Đặt [tex]a+b+c=x(x\geq 3)[/tex]
[tex]\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{3}}{x}-\frac{54}{(x+3)^3}=f(x)[/tex]
Xét [tex]f(x)-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{4}=...[/tex]
[tex]=-\frac{(x-3)(4\sqrt{3}x^3-3x^3+36\sqrt{3}x^2-36x^2+108\sqrt{3}x-189x+108\sqrt{3})}{12x(x+3)^3}\leq 0 ;\forall x\geq 3[/tex]
[tex]\Rightarrow P\leq f(x)\leq \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{4}[/tex]
Dấu = khi [tex]a=b=c=1[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
