Toán 9 Bất đẳng thức

[huyenhuyen5a12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c và a+b+c = 1 . CMR :
[tex]\frac{13}{27} \leq a^2+b^2+c^2+4abc< \frac{1}{2}[/tex]

Giúp em với ạ, e cảm ơn

 

[kido2006]

Cho ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c và a+b+c = 1 . CMR :
[tex]\frac{13}{27} \leq a^2+b^2+c^2+4abc< \frac{1}{2}[/tex]

Giúp em với ạ, e cảm ơn

Theo schur ta có [tex]abc \geq \frac{(a+b+c)\left [4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2\right ]}{9}=\frac{4(ab+bc+ca)}{9}-\frac{1}{9}[/tex]
[tex]\Rightarrow A=a^2+b^2+c^2+4abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16(ab+bc+ca)}{9}-\frac{4}{9}=(a+b+c)^2-\frac{2.3(ab+bc+ca)}{27}-\frac{4}{9}\geq 1-\frac{2(a+b+c)^2}{27}-\frac{4}{9}=\frac{13}{27}[/tex]
Dấu = khi [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]

Lại có [tex]a+b+c > 2c[/tex] (theo BĐT tam giác)
[tex]\Rightarrow \frac{1}{2} > c[/tex]
Tương tự [tex]\Rightarrow \frac{1}{2} > b ;\frac{1}{2} > a\Rightarrow (\frac{1}{2}-a)(\frac{1}{2}-b)(\frac{1}{2}-c)>0\Leftrightarrow -abc+\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{2}+\frac{1}{8}-\frac{a+b+c}{4}> 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)+\frac{1}{2}>4abc+1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+\frac{1}{2}-1>4abc+a^2+b^2+c^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a+b+c)^2-1+\frac{1}{2}> 4abc+a^2+b^2+c^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{2}> 4abc+a^2+b^2+c^2[/tex]

 

[huyenhuyen5a12]

Theo schur ta có [tex]abc \geq \frac{(a+b+c)\left [4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2\right ]}{9}=\frac{4(ab+bc+ca)}{9}-\frac{1}{9}[/tex]
[tex]\Rightarrow A=a^2+b^2+c^2+4abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16(ab+bc+ca)}{9}-\frac{4}{9}=(a+b+c)^2-\frac{2.3(ab+bc+ca)}{27}-\frac{4}{9}\geq 1-\frac{2(a+b+c)^2}{27}-\frac{4}{9}=\frac{13}{27}[/tex]
Dấu = khi [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]

Lại có [tex]a+b+c > 2c[/tex] (theo BĐT tam giác)
[tex]\Rightarrow \frac{1}{2} > c[/tex]
Tương tự [tex]\Rightarrow \frac{1}{2} > b ;\frac{1}{2} > a\Rightarrow (\frac{1}{2}-a)(\frac{1}{2}-b)(\frac{1}{2}-c)>0\Leftrightarrow -abc+\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{2}+\frac{1}{8}-\frac{a+b+c}{4}> 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)+\frac{1}{2}>4abc+1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+\frac{1}{2}-1>4abc+a^2+b^2+c^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a+b+c)^2-1+\frac{1}{2}> 4abc+a^2+b^2+c^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{2}> 4abc+a^2+b^2+c^2[/tex]

Anh ơi cái phần BĐT Schur á em mới đọc nên chưa có hiểu lắm anh giải chỗ eim cái bước đầu ấy được ko ạ (

 

[Vô Trần]

Anh ơi cái phần BĐT Schur á em mới đọc nên chưa có hiểu lắm anh giải chỗ eim cái bước đầu ấy được ko ạ (

$abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2a)(1-2b)(1-2c)$$
$$\Leftrightarrow 9abc \ge 4(ab+bc+ca)-1$$
$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+4abc \ge a^2+b^2+c^2+ \frac{16(ab+bc+ca)}{9}-\frac{4}{9}$$

 

[kido2006]

Anh ơi cái phần BĐT Schur á em mới đọc nên chưa có hiểu lắm anh giải chỗ eim cái bước đầu ấy được ko ạ (

Giả sử [TEX]a \geq b \geq c > 0[/TEX]
Cần chứng minh :[tex]9abc \geq (a+b+c)(2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2) [/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3abc + a^3+b^3+c^3 \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow c(a-c)(b-c) + (a-b)(a^2-ac-b^2+bc) \geq 0 [/tex]
[tex]\Leftrightarrow c(a-c)(b-c)+(a-b)^2(a+b-c) \geq 0[/tex] (luôn đúng)