Toán 10 Bất đẳng thức

[Trung Ngo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

moi nguoi giup em c9 voi a, em cam on

 

[kido2006]

moi nguoi giup em c9 voi a, em cam on

Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} x+1=a\\ y+1=b \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=4\\x+y=a+b-2 \\ xy=5-(a+b) \end{matrix}\right.[/tex]
Cần chứng minh [tex]\frac{3(a+b)^2-3(a+b)}{4}+\frac{3}{a+b-2}-(a+b-1)^2\leq \frac{3}{2}[/tex]
Đặt [tex]a+b=t\geq 2\sqrt{ab}=4[/tex]
Cần chứng minh [tex]\frac{3t(t-1)}{4}+\frac{3}{t-2}-(t-1)^2\leq \frac{3}{2}[/tex] với [tex]t\geq 4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(4-t)[(t-\frac{3}{2})^2+\frac{23}{4}]\leq 0[/tex]
Điều này luôn đúng với [tex]t\geq 4[/tex]

 

[Trung Ngo]

Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} x+1=a\\ y+1=b \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=4\\x+y=a+b-2 \\ xy=5-(a+b) \end{matrix}\right.[/tex]
Cần chứng minh [tex]\frac{3(a+b)^2-3(a+b)}{4}+\frac{3}{a+b-2}-(a+b-1)^2\leq \frac{3}{2}[/tex]
Đặt [tex]a+b=t\geq 2\sqrt{ab}=4[/tex]
Cần chứng minh [tex]\frac{3t(t-1)}{4}+\frac{3}{t-2}-(t-1)^2\leq \frac{3}{2}[/tex] với [tex]t\geq 4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(4-t)[(t-\frac{3}{2})^2+\frac{23}{4}]\leq 0[/tex]
Điều này luôn đúng với [tex]t\geq 4[/tex]

mình biến đổi đến đây rồi không biết có cách nào tiếp không nhỉ ??

 

[Lê.T.Hà]

Giả thiết: [tex]3=xy+x+y \leq \dfrac{1}{4}(x+y)^2+x+y\Leftrightarrow (x+y-2)(x+y+6) \geq 0\Leftrightarrow x+y \geq 2[/tex] (1)
[tex]BĐT\Leftrightarrow \dfrac{3x(x+1)+3y(y+1)}{(x+1)(y+1)}+\dfrac{xy}{x+y} \leq x^2+y^2+\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \dfrac{3(x^2+y^2+x+y)}{4}+\dfrac{xy}{x+y}\leq x^2+y^2+\dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3(x+y)+\dfrac{4xy}{x+y} \leq x^2+y^2+6[/tex]
Do [tex]4xy \leq (x+y)^2\Rightarrow \dfrac{4xy}{x+y} \leq x+y[/tex] nên ta chỉ cần chứng minh:
[tex]4(x+y) \leq x^2+y^2+6=x^2+y^2+2(xy+x+y)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(x+y) \leq (x+y)^2\Leftrightarrow x+y \geq 2[/tex] đúng theo (1)

 

[Trung Ngo]

Giả thiết: [tex]3=xy+x+y \leq \dfrac{1}{4}(x+y)^2+x+y\Leftrightarrow (x+y-2)(x+y+6) \geq 0\Leftrightarrow x+y \geq 2[/tex] (1)
[tex]BĐT\Leftrightarrow \dfrac{3x(x+1)+3y(y+1)}{(x+1)(y+1)}+\dfrac{xy}{x+y} \leq x^2+y^2+\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \dfrac{3(x^2+y^2+x+y)}{4}+\dfrac{xy}{x+y}\leq x^2+y^2+\dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3(x+y)+\dfrac{4xy}{x+y} \leq x^2+y^2+6[/tex]
Do [tex]4xy \leq (x+y)^2\Rightarrow \dfrac{4xy}{x+y} \leq x+y[/tex] nên ta chỉ cần chứng minh:
[tex]4(x+y) \leq x^2+y^2+6=x^2+y^2+2(xy+x+y)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(x+y) \leq (x+y)^2\Leftrightarrow x+y \geq 2[/tex] đúng theo (1)

chị giúp em c13 nữa được không ạ ?

 

[Lê.T.Hà]

[tex]P=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}}\Rightarrow P^2=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}+2\sqrt{xy}=\dfrac{(x+y)^3-3xy(x+y)}{xy}+2\sqrt{xy}=\dfrac{1-3xy}{xy}+2\sqrt{xy}[/tex]
Đặt [tex]t=\sqrt{xy} \leq \dfrac{1}{2}(x+y)=\dfrac{1}{2}[/tex]
Xét hàm [tex]f(t)=\dfrac{1-3t^2}{t^2}+2t[/tex] với [tex]0< t\leq \dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]f(t)=\dfrac{(1-2t)[1+t(2-t)]}{t^2}+2 \geq 2 \Rightarrow P^2 \geq 2[/tex]

 

[Lê.T.Hà]

Cách 2: đặt [tex](\sqrt{x};\sqrt{y})=(a;b)\Rightarrow a^2+b^2=1[/tex]
[tex]\Rightarrow P=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}=\dfrac{a^3+b^3}{ab} \geq \dfrac{2(a^3+b^3)}{a^2+b^2}=2(a^3+b^3)[/tex]
Lại có:
[tex]a^3+a^3+\frac{1}{2\sqrt{2}} \geq \dfrac{3\sqrt{2}a^2}{2}[/tex] ; [tex]b^3+b^3+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \geq \dfrac{3\sqrt{2}b^2}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow 2(a^3+b^3)+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \geq \dfrac{3\sqrt{2}}{2}(a^2+b^2)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow 2(a^3+b^3) \geq \sqrt{2}[/tex] hay [tex]P\geq \sqrt{2}[/tex]