Toán 9 Bất đẳng thức

kido2006

Cựu TMod Toán
Thành viên
26 Tháng một 2018
1,693
2
2,652
401
Bắc Ninh
THPT Chuyên Bắc Ninh
  • Like
Reactions: Nguyễn Linh_2006

7 1 2 5

Cựu TMod Toán
Thành viên
19 Tháng một 2019
6,871
11,478
1,141
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Không chắc là biểu thức trên có giá trị lớn nhất không.
Ta có: [tex]A=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+9abc=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)+9abc=1-3(ab+bc+ca)+9abc=\frac{1}{3}[(3a-1)(3b-1)(3c-1)+1][/tex]
Tới đây ta thấy A không có giá trị lớn nhất.
 

kido2006

Cựu TMod Toán
Thành viên
26 Tháng một 2018
1,693
2
2,652
401
Bắc Ninh
THPT Chuyên Bắc Ninh
Thưa anh, nếu vậy anh có thể cho xin cách làm không ạ
Đặt [tex]b+c=x(x \geq 0)\Rightarrow a=1-(b+c)=1-x[/tex]
Không mất tổng quát giả sử [tex]a=max(a,b,c)\Rightarrow 1=a+b+c\leq 3a=3(1-x)\Rightarrow x\leq \frac{2}{3}[/tex]
[tex]A=a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab+9abc=a^2+(b+c)^2-a(b+c)+3bc(3a-1)\leq a^2+(b+c)^2-a(b+c)+\frac{3(b+c)^2}{4}(3a-1)=(1-x)^2+x^2-(1-x)x+\frac{3x^2}{4}(2-3x)[/tex]
Xét [tex]A-1=...=\frac{3}{4}.(-x).[3(x-1)^2+1]\leq 0(do.x\geq 0)\Rightarrow A\leq 1\Rightarrow A_{max}=1[/tex] tại [tex]a=1,b=c=0[/tex] và hoán vị
 

Lê.T.Hà

Học sinh tiến bộ
Thành viên
25 Tháng một 2019
1,047
1,805
236
Bắc Giang
Đã thất học :<
[tex]A=1-(3ab+bc+ca)+9abc=1-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+9abc[/tex]
[tex]=1-[a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)]\leq 1[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi 2 biến bằng 0
WLOG, [tex]a=min\{a;b;c\}\Rightarrow a \leq \dfrac{1}{3}\Rightarrow 1-3a \geq 0[/tex]
[tex]P=1-3(ab+bc+ca)+9abc=1-3a(b+c)-3bc(1-3a)\geq 1-3a(1-a)-\dfrac{3}{4}(b+c)^2(1-3a)[/tex]
[tex]P \geq \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}a.\left [ (1-3a)+3a^2 \right ]\geq \dfrac{1}{4}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi 1 biến bằng 0, 2 biến bằng nhau
 
Top Bottom