Toán 9 Bất đẳng thức

[kido2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c nguyên dương thỏa mãn [tex]a+b+c=1[/tex] . Tìm giá trị lớn nhất của [tex]A=a^3+b^3+c^3+6abc[/tex]

Mọi người giúp mình bài này với ạ
@Mộc Nhãn Help me !!!

 

[7 1 2 5]

Không chắc là biểu thức trên có giá trị lớn nhất không.
Ta có: [tex]A=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+9abc=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)+9abc=1-3(ab+bc+ca)+9abc=\frac{1}{3}[(3a-1)(3b-1)(3c-1)+1][/tex]
Tới đây ta thấy A không có giá trị lớn nhất.

 

[Lê.T.Hà]

a;b;c không âm thì bài này đủ cả min, max
a;b;c dương thì không max cũng không luôn min

 

[Pot Trace]

a;b;c không âm thì bài này đủ cả min, max
a;b;c dương thì không max cũng không luôn min

Thưa anh, nếu vậy anh có thể cho xin cách làm không ạ

 

[kido2006]

Thưa anh, nếu vậy anh có thể cho xin cách làm không ạ

Đặt [tex]b+c=x(x \geq 0)\Rightarrow a=1-(b+c)=1-x[/tex]
Không mất tổng quát giả sử [tex]a=max(a,b,c)\Rightarrow 1=a+b+c\leq 3a=3(1-x)\Rightarrow x\leq \frac{2}{3}[/tex]
[tex]A=a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab+9abc=a^2+(b+c)^2-a(b+c)+3bc(3a-1)\leq a^2+(b+c)^2-a(b+c)+\frac{3(b+c)^2}{4}(3a-1)=(1-x)^2+x^2-(1-x)x+\frac{3x^2}{4}(2-3x)[/tex]
Xét [tex]A-1=...=\frac{3}{4}.(-x).[3(x-1)^2+1]\leq 0(do.x\geq 0)\Rightarrow A\leq 1\Rightarrow A_{max}=1[/tex] tại [tex]a=1,b=c=0[/tex] và hoán vị

 

[Lê.T.Hà]

[tex]A=1-(3ab+bc+ca)+9abc=1-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+9abc[/tex]
[tex]=1-[a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)]\leq 1[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi 2 biến bằng 0
WLOG, [tex]a=min\{a;b;c\}\Rightarrow a \leq \dfrac{1}{3}\Rightarrow 1-3a \geq 0[/tex]
[tex]P=1-3(ab+bc+ca)+9abc=1-3a(b+c)-3bc(1-3a)\geq 1-3a(1-a)-\dfrac{3}{4}(b+c)^2(1-3a)[/tex]
[tex]P \geq \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}a.\left [ (1-3a)+3a^2 \right ]\geq \dfrac{1}{4}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi 1 biến bằng 0, 2 biến bằng nhau