Đặt $x=\frac{a}{b+c}$; $y = \frac{b}{c+a}$; $z=\frac{c}{a+b}$
Bđt cần cm tương đương với
$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a \geq 2abc(a+b+c)$
Đúng do $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \geq abc(a+b+c)$
Và $(a^{3}b+abc^{2})+(b^{3}c+a^{2}bc)+(c^{3}a+ab^{2}c) \geq 2abc(a+b+c)$ => $a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a \geq abc(a+b+c)$
Cách này trâu quá :vv
Mọi người ai biết giúp mình zới
Cần chúng minh [tex]\Leftrightarrow \sum \frac{x^2y}{xyz(x+1)}\geq 2\Leftrightarrow \sum \frac{\frac{1}{z}}{1+\frac{1}{x}}\geq 2[/tex]
Đặt [tex](\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)\in\mathbb{R}^+[/tex]
Từ giả thiết [tex]\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+2=\frac{1}{xyz}\Leftrightarrow a+b+c+2=abc[/tex]
Ta quy về bài toán [tex]a+b+c+2=abc[/tex] chứng minh [tex]\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq 2[/tex]
Có [tex]a+b+c+2=abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^3}{27}-(a+b+c)-2\geq 0\Leftrightarrow a+b+c\geq 6[/tex]
[tex]\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}=\sum \frac{a}{b+1}=\sum \frac{a^2}{ab+a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca+a+b+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{(a+b+c)^2}{3}+a+b+c}=\frac{3(a+b+c)}{a+b+c+3}\geq 2[/tex](luôn đúng với [tex]a+b+c\geq 6[/tex] )
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
