Toán 9 Bất đẳng thức

[kido2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b là các số thực dương . Chứng minh rằng

[tex]32(\frac{a^2}{5a+3b}+\frac{b^2}{5b+3a})^2\geq a^2+b^2[/tex]​

P/s:Không được dùng S.O.S

@Mộc Nhãn Help me!!

 

[7 1 2 5]

Chuẩn hóa [TEX]a+b=2[/TEX], đặt [TEX]p=ab[/TEX]
Ta có: [tex]32[\frac{3(a^3+b^3)+5ab(a+b)}{15(a^2+b^2)+34ab}]^2 \geq (a+b)^2-2ab\Leftrightarrow 32[\frac{2(12-4p)}{60+2p}]\geq 4-2p\Leftrightarrow 16(\frac{6-2p}{15+p})^2\geq 2-p[/tex]
Lại có: [tex]2-p=1.(2-p)\leq (\frac{3-p}{2})^2[/tex] nên ta sẽ chứng minh [tex]16(\frac{6-2p}{15+p})^2\geq (\frac{3-p}{2})^2\Leftrightarrow \frac{24-8p}{15+p}\geq \frac{3-p}{2}\Leftrightarrow p^2-4p+3\geq 0\Leftrightarrow (p-1)(p-3)\geq 0[/tex]
Mà BĐT trên đúng do [tex]p\leq (\frac{a+b}{2})^2=1[/tex]
Từ đó BĐT ban đầu được chứng minh.