Toán 8 Bất đẳng thức

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[7 1 2 5]

Không biết em học đến BĐT Chebyshev hay chưa, nhưng mà bài này ở trong sách Sáng tạo Bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng.
Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]a \leq b \leq c \leq d[/tex]
Ta có: [tex]\frac{a^2-1}{a}+\frac{b^2-1}{b}+\frac{c^2-1}{c}+\frac{d^2-1}{d}=0[/tex]
Lại có: [tex]2a-\sqrt{a^2+3}=\frac{3(a^2-1)}{2a+\sqrt{a^2+3}}=\frac{3.\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}[/tex]
Xét dãy [tex]x_1=a-\frac{1}{a},x_2=b-\frac{1}{b},x_3=c-\frac{1}{c},x_4=d-\frac{1}{d},y_1=\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}},y_2=\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}},y_3=\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}},y_4=\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{d^2}}}[/tex]
Khi đó [tex]x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4; y_1 \leq y_2 \leq y_3 \leq y_4[/tex]
Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều ta có:
[tex]VT-VP=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4\geq \frac{1}{4}(x_1+x_2+x_3+x_4)(y_1+y_2+y_3+y_4)=0[/tex]

 

[Cheems]

Không biết em học đến BĐT Chebyshev hay chưa, nhưng mà bài này ở trong sách Sáng tạo Bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng.
Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]a \leq b \leq c \leq d[/tex]
Ta có: [tex]\frac{a^2-1}{a}+\frac{b^2-1}{b}+\frac{c^2-1}{c}+\frac{d^2-1}{d}=0[/tex]
Lại có: [tex]2a-\sqrt{a^2+3}=\frac{3(a^2-1)}{2a+\sqrt{a^2+3}}=\frac{3.\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}[/tex]
Xét dãy [tex]x_1=a-\frac{1}{a},x_2=b-\frac{1}{b},x_3=c-\frac{1}{c},x_4=d-\frac{1}{d},y_1=\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}},y_2=\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}},y_3=\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}},y_4=\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{d^2}}}[/tex]
Khi đó [tex]x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4; y_1 \leq y_2 \leq y_3 \leq y_4[/tex]
Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều ta có:
[tex]VT-VP=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4\geq \frac{1}{4}(x_1+x_2+x_3+x_4)(y_1+y_2+y_3+y_4)=0[/tex]

Cho em hỏi là cái này cm ntn ạ

 

[7 1 2 5]

Cho em hỏi là cái này cm ntn ạ

BĐT Chebyshev có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương nhé em. Em có thể tham khảo ở trên mạng nhé.