Toán 10 Bất đẳng thức

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho a+b+c=3
CMR: (a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)>=1
-------------------------------------------------------------
2,CMR:2(a^2+b^2+c^2)+abc+8>=5(a+b+c)

 

[kido2006]

1,Cho a+b+c=3
CMR: (a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)>=1
-------------------------------------------------------------
2,CMR:2(a^2+b^2+c^2)+abc+8>=5(a+b+c)

Có lẽ câu 1 $a,b,c \in R^{+}$ nhỉ?
1, Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 trong 3 số $a-1;b-1;c-1$ cùng dấu
Không mất tổng quát , giả sử đó là $a-1;b-1$
Ta có BĐT cần chứng minh là [tex] (a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1) \ge 1[/tex]
$\Leftrightarrow (a^2b^2-ab^2+b^2-a^2b+ab-b+a^2-a+1)(c^2-c+1) \ge 1$
Xét $LHS=(a^2b^2-ab^2+b^2-a^2b+ab-b+a^2-a+1)(c^2-c+1)$
$=[ab(a-1)(b-1)+a^2+b^2-(a+b)+1](c^2-c+1)$
$\ge [0+\frac{(a+b)^2}2-(a+b)+1](c^2-c+1)$
$=[\frac{(3-c)^2}2-(3-c)+1](c^2-c+1)]$
Giờ ta cần chỉ ra $[\frac{(3-c)^2}2-(3-c)+1](c^2-c+1)] \ge 1$ (đúng theo biến đổi tương đương :vvv, chỗ này bạn tự nhân ra nhé :>>>)


2,Chuẩn hóa $a+b+c=3$
Ta cần chứng minh $2(a+b+c)^2-4(ab+bc+ca)+abc+8 \ge 15$
Theo schur ta có $abc \ge \frac{(a+b+c)\left [4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2\right ]}{9}=\frac{4(ab+bc+ca)}3-3 $
Do đó cần chứng minh $8 \ge \frac{8}3 .(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow 3^2 \ge 3(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$ (đúng)


Nếu còn thắc mắc chỗ nào thì bạn bảo mình nhé ^^

 

[Vô Trần]

Có lẽ câu 1 $a,b,c \in R^{+}$ nhỉ?
1, Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 trong 3 số $a-1;b-1;c-1$ cùng dấu
Không mất tổng quát , giả sử đó là $a-1;b-1$
Ta có BĐT cần chứng minh là [tex] (a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1) \ge 1[/tex]
$\Leftrightarrow (a^2b^2-ab^2+b^2-a^2b+ab-b+a^2-a+1)(c^2-c+1) \ge 1$
Xét $LHS=(a^2b^2-ab^2+b^2-a^2b+ab-b+a^2-a+1)(c^2-c+1)$
$=[ab(a-1)(b-1)+a^2+b^2-(a+b)+1](c^2-c+1)$
$\ge [0+\frac{(a+b)^2}2-(a+b)-1](c^2-c+1)$
$=[\frac{(3-c)^2}2-(3-c)-1](c^2-c+1)]$
Giờ ta cần chỉ ra $[\frac{(3-c)^2}2-(3-c)-1](c^2-c+1)] \ge 1$ (đúng theo biến đổi tương đương :vvv, chỗ này bạn tự nhân ra nhé :>>>)


2,Chuẩn hóa $a+b+c=3$
Ta cần chứng minh $2(a+b+c)^2-4(ab+bc+ca)+abc+8 \ge 15$
Theo schur ta có $abc \ge \frac{(a+b+c)\left [4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2\right ]}{9}=\frac{4(ab+bc+ca)}3-3 $
Do đó cần chứng minh $8 \ge \frac{8}3 .(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow 3^2 \ge 3(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$ (đúng)


Nếu còn thắc mắc chỗ nào thì bạn bảo mình nhé ^^

Ở bài 1, bất đẳng thức cuối hoàn toàn sai
$c=\min\{a,b,c\}$
$$\prod_{cyc}(a^2-a+1)\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2(c^2-c+1)=\left(\frac{3-c}{2}\right)^2(c^2-c+1)\geq1.$$

 

[Lê.T.Hà]

Không nghiêm trọng như vậy đâu, nếu quan sát kĩ thì bài làm của kido sai vì cái này nè:

Nhầm dấu từ trên xuống dưới, sửa nó là được

 

[kido2006]

Có lẽ câu 1 $a,b,c \in R^{+}$ nhỉ?
1, Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 trong 3 số $a-1;b-1;c-1$ cùng dấu
Không mất tổng quát , giả sử đó là $a-1;b-1$
Ta có BĐT cần chứng minh là [tex] (a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1) \ge 1[/tex]
$\Leftrightarrow (a^2b^2-ab^2+b^2-a^2b+ab-b+a^2-a+1)(c^2-c+1) \ge 1$
Xét $LHS=(a^2b^2-ab^2+b^2-a^2b+ab-b+a^2-a+1)(c^2-c+1)$
$=[ab(a-1)(b-1)+a^2+b^2-(a+b)+1](c^2-c+1)$
$\ge [0+\frac{(a+b)^2}2-(a+b)+1](c^2-c+1)$
$=[\frac{(3-c)^2}2-(3-c)+1](c^2-c+1)]$
Giờ ta cần chỉ ra $[\frac{(3-c)^2}2-(3-c)+1](c^2-c+1)] \ge 1$ (đúng theo biến đổi tương đương :vvv, chỗ này bạn tự nhân ra nhé :>>>)


2,Chuẩn hóa $a+b+c=3$
Ta cần chứng minh $2(a+b+c)^2-4(ab+bc+ca)+abc+8 \ge 15$
Theo schur ta có $abc \ge \frac{(a+b+c)\left [4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2\right ]}{9}=\frac{4(ab+bc+ca)}3-3 $
Do đó cần chứng minh $8 \ge \frac{8}3 .(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow 3^2 \ge 3(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$ (đúng)


Nếu còn thắc mắc chỗ nào thì bạn bảo mình nhé ^^

Mình làm lại câu 2 nhé :vv, tại bị sai rùi , không chuẩn hoá được , xin lỗi bạn vì sự sai sót này



Theo nguyên lí Diriclet thì tồn tại $a-1$ và $b-1$ cùng dấu
Do đó $(a-1)(b-1) \ge 0$
$\Leftrightarrow ab\geq a+b-1$
$\Leftrightarrow abc+c \geq ac+bc$
$\Leftrightarrow ab+abc+c\geq ac+bc+ab$
$\Leftrightarrow \frac{\sum a^2}2 +ab+abc+c\geq \frac{\sum a^2}2+ac+bc+ab=\frac{(a+b+c)^2}2$
Ta có $L.H.S=3.\frac{\sum a^2}2+8+\frac{\sum a^2}2 +ab+abc+c-ab-c \ge 3.\frac{\sum a^2}2+8+\frac{(a+b+c)^2}2-\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2+1}{2}$
[tex]=\sum a^2+\frac{15}{2}+\frac{(a+b+c)^2}2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{15}{2}+\frac{(a+b+c)^2}{2}=\frac{5(a+b+c)^2}{6}+\frac{15}{2}\geq 2\sqrt{\frac{5.15.(a+b+c)^2}{2.6}}=5(a+b+c)[/tex]
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$


P/s: a,b,c không âm nhé , nếu đề cho như vậy thì $a=-4;b=c=10$ thì đề sai rùi ^^