Toán 9 bất đẳng thức

[Cute Boy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là số thức dương thỏa mãn a+b+c=3 Cmr
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2[/tex]

 

[Lê.T.Hà]

Nhàn rỗi sinh nông nổi
Sử dụng BĐT cơ bản: [tex]\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \geq \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca} [/tex]
Ta chỉ cần chứng minh: [tex]\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca} \geq a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+2(ab+bc+ca) \geq 9[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \dfrac{a+b+c}{abc} +2(ab+bc+ca) \geq 9 \Leftrightarrow \dfrac{3}{abc}+2(ab+bc+ca) \geq 9[/tex]

Ta lại có: [tex](ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c)=9abc \Rightarrow ab+bc+ca \geq 3\sqrt{abc}[/tex]
Do đó ta chỉ cần chứng minh: [tex]\dfrac{3}{abc}+6\sqrt{abc} \geq 9\Leftrightarrow \dfrac{1}{abc}+2\sqrt{abc} \geq 3[/tex]
Hiển nhiên đúng do: [tex]\dfrac{1}{abc}+\sqrt{abc}+\sqrt{abc} \geq 3[/tex] (AM-GM 3 số)