Toán 9 Bất đẳng thức

[02-07-2019.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=1.
Tìm giá trị lớn nhất: [tex]\frac{ab}{ab+c}+\frac{cb}{cb+a}+\frac{ac}{ac+b}-\frac{4}{abc}[/tex]

Mình cảm ơn ạ.

 

[7 1 2 5]

[tex]\frac{ab}{ab+c}=\frac{ab}{ab+c(a+b+c)}=\frac{ab}{(a+c)(b+c)}[/tex]
Từ đó [tex]\frac{ab}{ab+c}+\frac{cb}{cb+a}+\frac{ac}{ac+b}=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1-\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex]
Lại có: [tex](a+b)(b+c)(c+a)\leq (\frac{2a+2b+2c}{3})^3=\frac{8}{27}\Rightarrow 1-\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq 1-\frac{27abc}{4}[/tex]
Ta có: [tex]\frac{27abc}{4}+\frac{1}{108abc}\geq \frac{1}{2}\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ab}{ab+c}+\frac{cb}{cb+a}+\frac{ac}{ac+b}-\frac{4}{abc}\leq 1-\frac{27}{4abc}-\frac{1}{108abc}-(4-\frac{1}{108})\frac{1}{abc}\leq 1-\frac{1}{2}-(4-\frac{1}{108}).\frac{1}{(\frac{a+b+c}{3})^3}=\frac{1}{2}-(4-\frac{1}{108}).27=-107\frac{1}{4}[/tex]

 

[02-07-2019.]

[tex]\frac{ab}{ab+c}=\frac{ab}{ab+c(a+b+c)}=\frac{ab}{(a+c)(b+c)}[/tex]
Từ đó [tex]\frac{ab}{ab+c}+\frac{cb}{cb+a}+\frac{ac}{ac+b}=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1-\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex]
Lại có: [tex](a+b)(b+c)(c+a)\leq (\frac{2a+2b+2c}{3})^3=\frac{8}{27}\Rightarrow 1-\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq 1-\frac{27abc}{4}[/tex]
Ta có: [tex]\frac{27abc}{4}+\frac{1}{108abc}\geq \frac{1}{2}\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ab}{ab+c}+\frac{cb}{cb+a}+\frac{ac}{ac+b}-\frac{4}{abc}\leq 1-\frac{27}{4abc}-\frac{1}{108abc}-(4-\frac{1}{108})\frac{1}{abc}\leq 1-\frac{1}{2}-(4-\frac{1}{108}).\frac{1}{(\frac{a+b+c}{3})^3}=\frac{1}{2}-(4-\frac{1}{108}).27=-107\frac{3}{4}[/tex]

Giá trị lớn nhất là -24 khi [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex] ạ.

 

[7 1 2 5]

Giá trị lớn nhất là -24 khi [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex] ạ.

Em thử tính lại đi nhỉ?

 

[02-07-2019.]

Em thử tính lại đi nhỉ?

À -6 ạ.
\frac{ab}{ab+c}+\frac{cb}{cb+a}+\frac{ac}{ac+b}-\frac{4}{abc}[tex]\frac{ab}{ab+c}+\frac{cb}{cb+a}+\frac{ac}{ac+b}-\frac{4}{abc} =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{27}{4}=-6=[/tex]

 

[7 1 2 5]

[tex]\frac{4}{abc}=\frac{4}{\frac{1}{27}}=4.27=108?[/tex]

 

[02-07-2019.]

À, vâng em hiểu rồi.
Thực ra là em viết sai đề ngay từ đầu ạ:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=1.
Tìm giá trị lớn nhất: [tex]\frac{ab}{ab+c}+\frac{cb}{cb+a}+\frac{ac}{ac+b}-\frac{1}{4abc}[/tex]

 

[7 1 2 5]

À, vâng em hiểu rồi.
Thực ra là em viết sai đề ngay từ đầu ạ:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=1.
Tìm giá trị lớn nhất: [tex]\frac{ab}{ab+c}+\frac{cb}{cb+a}+\frac{ac}{ac+b}-\frac{1}{4abc}[/tex]

Phương pháp gần như như vậy nhé em.