Toán 9 Bất đẳng thức

[iiarareum]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

x,y,z là các số thực thỏa mãn [tex]0\leq x;y;z\leq 1[/tex]
CMR a) [tex]\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}\leq 2[/tex]
b) [tex]x^2y+y^2z+z^2x-xy^2-yz^2-zx^2\leq \frac{1}{4}[/tex]
@Mộc Nhãn @Lê.T.Hà

 

[Hanhh Mingg]

a)Đặt A là biểu thức VT của bđt
Do [tex]0\leq x,y,z\leq 1\Rightarrow A\leq \frac{x}{1+xyz}+ \frac{y}{1+xyz}+ \frac{z}{1+xyz}=\frac{x+y+z}{1+xyz}[/tex]
Vì [tex]0\leq x,y,z\leq 1\Rightarrow (1-x)(1-y)+(1-z)(1-xy)\geq 0\Leftrightarrow x+y+z+xyz \leq 2\Rightarrow A\leq \frac{xyz+2}{xyz+1}=1+\frac{1}{1+xyz}\leq 1+1=2[/tex]
Dấu = xra khi và chỉ khi x=1,y=1,z=0 hoặc các hoán vị.
b) Đang phân vân 1 chút vì biến đổi ra nó lại nhỏ hơn bằng 1.

 

[7 1 2 5]

b) Lời giải từ 1 người quen:
[tex]x^2y+y^2z+z^2x-xy^2-yz^2-zx^2=(x-y)(y-z)(x-z)[/tex]
Không mất tính tổng quát giả sử [tex]x=max\left \{ x,y,z \right \}[/tex]
+ Nếu [tex]x\geq y\geq z\Rightarrow (x-y)(y-z)(x-z)\leq (\frac{x-y+y-z}{2})^2(x-z)=\frac{(x-z)^3}{4}\leq \frac{1}{4}[/tex]
+ Nếu [tex]x\geq z\geq y\Rightarrow (x-y)(y-z)(x-z)\leq 0[/tex]