Toán 9 Bất đẳng thức

[lediepdanphuong@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người ơi, trong bài này:
Cho a,b là số dương / a+b+ab=3.
CMR: [tex]\frac{a}{b+3}+ \frac{b}{a+3}+\frac{ab}{a+b}\leq 1[/tex]
Cho mình hỏi rằng bài này có chứng minh Cauchy ngược dấu không ạ, nếu không thì làm thế nào ạ? Mình xin cảm ơn mọi người rất nhiều ạ.

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex]s=a+b,p=ab\Rightarrow \left\{\begin{matrix} s^2\geq 4p\\ s+p=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p=3-s\\ 3=s+p\leq s+\frac{s^2}{4} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p=3-s\\ s^2+4s\geq 12 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p=3-s\\ s^2+4s-12\geq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p=3-s\\ (s+6)(s-2)\geq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p=3-s\\ s\geq 2 \end{matrix}\right.[/tex]
Ta thấy: [tex]VT=\frac{a(a+3)+b(b+3)}{(a+3)(b+3)}+\frac{ab}{a+b}=\frac{(a^2+b^2)+3(a+b)}{ab+3(a+b)+9}+\frac{p}{s}=\frac{(a+b)^2-2ab+3(a+b)}{p+3s+9}+\frac{3-s}{s}=\frac{s^2-2p+3s}{3-s+3s+9}+\frac{3}{s}-1=\frac{s^2-2(3-s)+3s}{2s+12}+\frac{3}{s}-1=\frac{s^2+5s-6}{2s+12}+\frac{3}{s}-1=\frac{(s+6)(s-1)}{2(s+6)}+\frac{3}{s}-1=\frac{s-1}{2}+\frac{3}{s}-1[/tex]
Ta cần chứng minh [tex]\frac{s-1}{2}+\frac{3}{s}\leq 2\Leftrightarrow s(s-1)+6\leq 4s\Leftrightarrow s^2-s+6\leq 4s\Leftrightarrow s^2-5s+6\leq 0\Leftrightarrow (s-2)(s-3)\leq 0[/tex](đúng vì [TEX]s \leq 2[/TEX])
Vậy ta có đpcm.