Toán 9 Bất đẳng thức

[iiarareum]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho a,b,c >0. CMR

2) Cho a,b,c >0 thỏa mãn
CMR
@Mộc Nhãn @Lê.T.Hà @shorlochomevn@gmail.com @TranPhuong27 Xem giúp em/mình bài này với ạ.

 

[TranPhuong27]

Solve câu 1 trước:

Ta sẽ chứng minh [tex](\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}})^2 \leq 9[/tex]

[tex](\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}})^2=(\sum \frac{\sqrt{2a(a+c)}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}})^2 \leq (2a+2b+2c)(\sum \frac{2a}{(a+b)(a+c)})=\frac{8(a+b+c) (ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex]

Ta cần chứng minh [tex]\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq 9[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 8(a+b+c)(ab+bc+ca) \leq 9(a+b)(b+c)(c+a)[/tex]

Nhưng đây là một BĐT quen thuộc:

[tex](a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc \geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{9(a+b)(b+c)(c+a)}{8} \geq (a+b+c)(ab+bc+ca)[/tex] ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra khi [tex]a=b=c[/tex]

 

[NikolaTesla]

Solve câu 1 trước:

Ta sẽ chứng minh [tex](\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}})^2 \leq 9[/tex]

[tex](\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}})^2=(\sum \frac{\sqrt{2a(a+c)}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}})^2 \leq (2a+2b+2c)(\sum \frac{2a}{(a+b)(a+c)})=\frac{8(a+b+c) (ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex]

Ta cần chứng minh [tex]\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq 9[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 8(a+b+c)(ab+bc+ca) \leq 9(a+b)(b+c)(c+a)[/tex]

Nhưng đây là một BĐT quen thuộc:

[tex](a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc \geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{9(a+b)(b+c)(c+a)}{8} \geq (a+b+c)(ab+bc+ca)[/tex] ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra khi [tex]a=b=c[/tex]

Chỗ này là BĐT gì ạ?

 

[Lê.T.Hà]

Nó là Bunhiacopxki thôi mà bạn .
[tex]\left ( \sum \sqrt{a+c}\sqrt{\frac{2a}{(a+b)(a+c)}} \right )^2\leq ...[/tex]
.....
[tex]\left ( a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}} \right )^3\geq \frac{27}{2}(a+b)(a+c)\Rightarrow P\leq \frac{2}{27}\sum \frac{1}{(a+b)(a+c)}=\frac{4}{27}.\frac{a+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex]
[tex]P\leq \frac{1}{6}\frac{(a+b+c)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}[/tex] [tex]=\frac{1}{6(ab+bc+ca)}[/tex]
[tex]16(a+b+c)\geq \frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{(ab+bc+ca)^2}{abc(ab+bc+ca)}\geq \frac{3abc(a+b+c)}{abc(ab+bc+ca)}\Rightarrow \frac{1}{ab+bc+ca}\leq \frac{16}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow P\leq \frac{16}{3.6}=\frac{8}{9}[/tex]