Toán 9 Bất đẳng thức

[daukhai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của [tex]P=\frac{a}{b^2c+1}+\frac{b}{c^2a+1}+\frac{c}{a^2b+1}[/tex]

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Có: [tex]\sum a\geq 3\sqrt[3]{abc} \\ \Leftrightarrow 3\geq 3\sqrt[3]{abc} \\ \Leftrightarrow abc\leq 1[/tex]

a,b,c dương => [tex]\\ P= \sum \frac{a}{b^2c+1} \\ =\sum \frac{a^2}{ab^2c+a} \\ \geq \sum \frac{a^2}{a+b} \\ \geq \frac{(\sum a)^2}{\sum (a+b)} \\ =\frac{(\sum a)^2}{2(\sum a)}[/tex]
Thay [tex]\sum a=3[/tex] => [TEX]P_{min}=....[/TEX]

Dấu "=" khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[ZooKeeper]

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của [tex]P=\frac{a}{b^2c+1}+\frac{b}{c^2a+1}+\frac{c}{a^2b+1}[/tex]

Áp dụng BĐT C-S với AM-GM $$\sum \frac{a}{b^2c+1}=\sum \frac{a^2}{ab^2c+a}\ge \frac{(a+b+c)^2}{abc(a+b+c)+a+b+c}=\frac{3}{abc+1}\ge \frac{3}{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3+1}=\frac{3}{2}$$

 

[daukhai]

Áp dụng BĐT C-S với AM-GM $$\sum \frac{a}{b^2c+1}=\sum \frac{a^2}{ab^2c+a}\ge \frac{(a+b+c)^2}{abc(a+b+c)+a+b+c}=\frac{3}{abc+1}\ge \frac{3}{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3+1}=\frac{3}{2}$$

Bạn giải rõ hơn được không ạ. Chỗ dẫu lớn hơn bằng thứ nhất mình vẫn không hiểu

 

[7 1 2 5]

Bạn giải rõ hơn được không ạ. Chỗ dẫu lớn hơn bằng thứ nhất mình vẫn không hiểu

BĐT Schwartz 3 bộ: [tex]\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}[/tex]

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Bạn giải rõ hơn được không ạ. Chỗ dẫu lớn hơn bằng thứ nhất mình vẫn không hiểu

[tex]\sum \frac{a^2}{x}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum x}[/tex]
C.S Engel thì phải

(a,b,c.... ; x,y,z.... > 0)

 

[Wweee]

Dùng Cosi ngược dấu nha bạn :
[tex]\frac{a}{b^2c+1}=a(1-\frac{b^2c}{b^2c+1})\geq a(1-\frac{b^2c}{2\sqrt{b^2c}})=a(1-\frac{b\sqrt{c}}{2}) => P\geq a+b+c-\frac{1}{2}(\sum ab\sqrt{c})[/tex]
Có [tex]a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc} => 1\geq abc => P \geq 3-\frac{1}{2}(\sum \sqrt{ab})\geq 3-\frac{1}{2}(a+b+c) =\frac{3}{2}[/tex]

 

[daukhai]

P≥a+b+c−12(∑abc√)

Chỗ này mình không hiểu lắm ạ

 

[Wweee]

Chỗ này mình không hiểu lắm ạ

Nhân phá ngoặc ra thôi bạn ???