Toán 9 Bất đẳng thức

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a,b,c thực dương saoo cho [TEX]abc=1[/TEX]. CMR:

[tex]\sum \frac{4a-1}{(2b+1)^2}\geq 1[/tex]​

 

[ZooKeeper]

$$\Leftrightarrow \frac{4a-1}{(2b+1)^2} + \frac{4b-1}{(2c+1)^2} + \frac{4c-1}{(2a+1)^2}+3\ge 4$$
$$\Leftrightarrow \frac{4a+4b+4b^2}{(2b+1)^2} + \frac{4b+4c+4c^2}{(2c+1)^2} + \frac{4c+4a+4a^2}{(2a+1)^2}\ge 4$$
$$\Leftrightarrow \frac{a+b+b^2}{(2b+1)^2} + \frac{b+c+c^2}{(2c+1)^2} + \frac{c+a+a^2}{(2a+1)^2}\ge 1$$
Áp dụng BĐT C-S $$(a+b+b^2)\left(\frac{1}{a}+b+1\right)\ge (1+b+b)^2=(1+2b)^2$$
$$\implies \frac{a+b+b^2}{(2b+1)^2}\ge \frac{1}{\frac{1}{a}+b+1}=\frac{a}{ab+a+1}$$
Mặt khác $$\sum_{cyc} \frac{a}{ab+a+1}=1$$
$$\implies \sum_{cyc} \frac{a+b+b^2}{(2b+1)^2}\ge \sum_{cyc} \frac{a}{ab+a+1}=1$$
Ta có đpcm