Toán 9 Bất đẳng thức

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]x,y,z>0[/TEX]
[TEX]xy+yz+zx=3[/TEX]

CMR:
[tex]\sum \frac{1}{x^2+1}\geq \frac{3}{2}[/tex]


(Em đã thử dùng cauchy ngược dấu nhưng nó lại bị ngược dấu thêm lần nữa )

 

[iiarareum]

[TEX]x,y,z>0[/TEX]
[TEX]xy+yz+zx=3[/TEX]

CMR:
[tex]\sum \frac{1}{x^2+1}\geq \frac{3}{2}[/tex]


(Em đã thử dùng cauchy ngược dấu nhưng nó lại bị ngược dấu thêm lần nữa )

https://diendan.hocmai.vn/posts/3961770/

 

[7 1 2 5]

1 kết quả quan trọng bài này: [tex]\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}\forall xy\geq 1,x> 0[/tex]
Theo nguyên lí Dirichlet luôn tồn tại trong 3 số xy,yz,zx có 1 số không nhỏ hơn 1. Giả sử là xy.
Ta có: [tex]\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}[/tex]
Cần chứng minh [tex]\frac{1}{z^2+1}+\frac{2}{xy+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow 2(xy+1)+4(z^2+1)\geq 3(xy+1)(z^2+1)\Leftrightarrow 4z^2+2xy+6\geq 3xyz^2+3z^2+3xy+3\Leftrightarrow z^2+3-xy\geq 3xyz^2\Leftrightarrow z^2+xy+yz+zx-xy\geq 3xyz^2\Leftrightarrow z^2+xz+yz\geq 3xyz^2[/tex]
Ta có: [tex]z^2+xy+yz=z(x+y+z)\geq z.3\sqrt[3]{xyz}\geq z.3xyz=3xyz^2\Rightarrow[/tex] đpcm

 

[ZooKeeper]

[TEX]x,y,z>0[/TEX]
[TEX]xy+yz+zx=3[/TEX]

CMR:
[tex]\sum \frac{1}{x^2+1}\geq \frac{3}{2}[/tex]


(Em đã thử dùng cauchy ngược dấu nhưng nó lại bị ngược dấu thêm lần nữa )

Quy đồng rồi khử mẫu, ta cần CM $$x^2+y^2+z^2+3\ge 3x^2y^2z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$$
$$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz(x+y+z) \ge 3x^2y^2z^2+6$$
Áp dụng Schur bậc 3 $$x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\ge 2(xy+yz+zx)=6$$
$$\implies x^2+y^2+z^2\ge 6-\frac{9xyz}{x+y+z}$$
Cần CM $$6-\frac{9xyz}{x+y+z}+2xyz(x+y+z)\ge 3x^2y^2z^2+6$$
$$\Leftrightarrow 2(x+y+z)^2\ge 3xyz(x+y+z)+9$$
Áp dụng BĐT C-S $$2(x+y+z)^2\ge 2\cdot 3(xy+yz+zx)=18=(xy+yz+zx)^2+9\ge 3xyz(x+y+z)+9$$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$ hoặc $x=y=\sqrt{3}$ và $z=0$ và các hoán vị

 

[Nguyễn Quế Sơn]

Quy đồng rồi khử mẫu, ta cần CM $$x^2+y^2+z^2+3\ge 3x^2y^2z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$$
$$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz(x+y+z) \ge 3x^2y^2z^2+6$$
Áp dụng Schur bậc 3 $$x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\ge 2(xy+yz+zx)=6$$
$$\implies x^2+y^2+z^2\ge 6-\frac{9xyz}{x+y+z}$$
Cần CM $$6-\frac{9xyz}{x+y+z}+2xyz(x+y+z)\ge 3x^2y^2z^2+6$$
$$\Leftrightarrow 2(x+y+z)^2\ge 3xyz(x+y+z)+9$$
Áp dụng BĐT C-S $$2(x+y+z)^2\ge 2\cdot 3(xy+yz+zx)=18=(xy+yz+zx)^2+9\ge 3xyz(x+y+z)+9$$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$ hoặc $x=y=\sqrt{3}$ và $z=0$ và các hoán vị

Mình không hiểu:

 

[7 1 2 5]

Bạn nhân cả 2 vế cho [TEX]x+y+z[/TEX] rồi rút gọn quy về được dạng [tex]a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \geq 0[/tex]