Toán 9 Bất đẳng thức

[SieuNhanCuHanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng [tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2[/tex]
@Lê.T.Hà @Mộc Nhãn @Lena1315

 

[7 1 2 5]

Dùng U.C.T tìm ra BĐT : [tex]\frac{1}{x^2}-x^2+4x-4\geq 0\Leftrightarrow \frac{(x-1)^2[2-(x-1)^2]}{x^2}\geq 0[/tex]
Với [tex]a,b,c\geq \frac{1}{3}\Rightarrow a,b,c\in [\frac{1}{3},\frac{7}{3}][/tex] ta thấy thỏa mãn.
Nếu tồn tại 1 số [tex]a< \frac{1}{3}\Rightarrow \frac{1}{a^2}> 9=(a+b+c)^2> a^2+b^2+c^2[/tex]
Vậy ta có đpcm.

 

[SieuNhanCuHanh]

Dùng U.C.T tìm ra BĐT : [tex]\frac{1}{x^2}-x^2+4x-4\geq 0\Leftrightarrow \frac{(x-1)^2[2-(x-1)^2]}{x^2}\geq 0[/tex]
Với [tex]a,b,c\geq \frac{1}{3}\Rightarrow a,b,c\in [\frac{1}{3},\frac{7}{3}][/tex] ta thấy thỏa mãn.
Nếu tồn tại 1 số [tex]a< \frac{1}{3}\Rightarrow \frac{1}{a^2}> 9=(a+b+c)^2> a^2+b^2+c^2[/tex]
Vậy ta có đpcm.

Bạn giải thích kĩ hơn phần dùng UCT được k ạ

 

[7 1 2 5]

Bạn giải thích kĩ hơn phần dùng UCT được k ạ

[tex]\frac{1}{x^2}-x^2-mx-n\geq 0[/tex]
Cộng vế theo vế ta có [tex]n=-m\Rightarrow \frac{1}{x^2}-x^2-mx+m\geq 0\Leftrightarrow 1-x^4-mx^3+mx^2\geq 0\Leftrightarrow -(x-1)(x^3+x^2+x+1)-mx^2(x-1)\geq 0\Leftrightarrow (x-1)(x^3+x^2+x+1+mx^2)\leq 0[/tex]
Để có BĐT đúng thì [TEX]x^3+x^2+x+1-mx^2[/TEX] có nhân tử x - 1 hay m = - 4.

 

[Lê.T.Hà]

Một cách khác sử dụng C-S:
Ta có: [tex](a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{(a+b+c)(ab+bc+ca)^2}[/tex]
[tex]\Rightarrow (a+b+c)^6\geq 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2=(a+b+c)^3.(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2[/tex]
[tex]\Rightarrow (a+b+c)^3\geq (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2[/tex]
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{a+b+c}{abc}=\frac{(a+b+c)^2}{abc(a+b+c)}\geq \frac{3(a+b+c)^2}{(ab+bc+ca)^2}=\frac{(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^2} \geq a^2+b^2+c^2[/tex]