Một BĐT kinh điển: [tex]\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\forall ab\geq 1[/tex]
Trong 3 số ab,bc,ca luôn tồn tại 1 số không nhỏ hơn 1. Giả sử là ab.
Khi đó [TEX]\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}[/TEX]
Cần chứng minh [tex]\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow 2[2(c^2+1)+ab+1]\geq 3(ab+1)(c^2+1)\Leftrightarrow 4c^2+2ab+6\geq 3abc^2+3c^2+3ab+3\Leftrightarrow c^2+3-ab\geq 3abc^2\Leftrightarrow c^2+ac+bc\geq 3abc^2[/tex]
Dễ thấy [tex]abc\leq 1\Rightarrow c^2+ac+bc=c(a+b+c)\geq c.3\sqrt[3]{abc}\geq c.3abc=3abc^2(đpcm)[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
