[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Toán 9 Bất đẳng thức
- Thread starter SieuNhanCuHanh
- Ngày gửi
- Replies 1
- Views 225
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Xét hiệu:
[TEX]T = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) - \left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) - 5\\ = \left( {{a^2}{b^2} - {a^2}b - a{b^2} + ab} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} - a - b - ab} \right) - 4\\ = ab\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) + \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + a\left( {a - 2} \right) + b\left( {b - 2} \right)} \right] - 4[/TEX]
Chỉ với [TEX]\left| a \right| \geqslant 2[/TEX] thì [TEX]a\left( {a - 1} \right) \geqslant 2[/TEX] và [TEX]a(a-2) \geqslant 0[/TEX]
[TEX]\left| b \right| \geqslant 2[/TEX] thì [TEX]b\left( {b - 1} \right) \geqslant 2[/TEX] và [TEX]b(b-2) \geqslant 0[/TEX]
nên [TEX]ab\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \geqslant 4;\dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + a\left( {a - 2} \right) + b\left( {b - 2} \right)} \right] \geqslant 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow T \geqslant 0[/TEX] hay [TEX]\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \geqslant \left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) + 5[/TEX]
[TEX]T = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) - \left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) - 5\\ = \left( {{a^2}{b^2} - {a^2}b - a{b^2} + ab} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} - a - b - ab} \right) - 4\\ = ab\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) + \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + a\left( {a - 2} \right) + b\left( {b - 2} \right)} \right] - 4[/TEX]
Chỉ với [TEX]\left| a \right| \geqslant 2[/TEX] thì [TEX]a\left( {a - 1} \right) \geqslant 2[/TEX] và [TEX]a(a-2) \geqslant 0[/TEX]
[TEX]\left| b \right| \geqslant 2[/TEX] thì [TEX]b\left( {b - 1} \right) \geqslant 2[/TEX] và [TEX]b(b-2) \geqslant 0[/TEX]
nên [TEX]ab\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \geqslant 4;\dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + a\left( {a - 2} \right) + b\left( {b - 2} \right)} \right] \geqslant 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow T \geqslant 0[/TEX] hay [TEX]\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \geqslant \left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) + 5[/TEX]