Toán 9 Bất đẳng thức

[SieuNhanCuHanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực không âm, không có hai số nào cùng bằng 0 thỏa mãn [tex]a+b+c=1[/tex]. Chứng minh các bđt sau:
[tex]a) \ \ \frac{a}{\sqrt{a+b}} + \frac{c}{\sqrt{b+c}} \leq \sqrt{2}[/tex]
[tex]b) \ \ \frac{a}{\sqrt{a+b}} + \frac{b}{\sqrt{b+c}} \leq \frac{5}{4}[/tex]
@Mộc Nhãn

 

[Lê.T.Hà]

[tex]\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{c}{\sqrt{b+c}}\leq \sqrt{a}+\sqrt{c}\leq \sqrt{2(a+c)}\leq \sqrt{2(a+b+c)}=\sqrt{2}[/tex]
Dấu "=" xảy a khi a=c;b=0
[tex]VT\leq \frac{a}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{b}=\frac{a+\frac{1}{2}\sqrt{4b(a+b)}}{\sqrt{a+b}}\leq \frac{a+\frac{1}{4}(a+5b)}{\sqrt{a+b}}=\frac{5}{4}\sqrt{a+b}\leq \frac{5}{4}\sqrt{a+b+c}=\frac{5}{4}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a=3b;c=0

 

[SieuNhanCuHanh]

[tex]\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{c}{\sqrt{b+c}}\leq \sqrt{a}+\sqrt{c}\leq \sqrt{2(a+c)}\leq \sqrt{2(a+b+c)}=\sqrt{2}[/tex]
Dấu "=" xảy a khi a=c;b=0
[tex]VT\leq \frac{a}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{b}=\frac{a+\frac{1}{2}\sqrt{4b(a+b)}}{\sqrt{a+b}}\leq \frac{a+\frac{1}{4}(a+5b)}{\sqrt{a+b}}=\frac{5}{4}\sqrt{a+b}\leq \frac{5}{4}\sqrt{a+b+c}=\frac{5}{4}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a=3b;c=0

Giải thích cho e chỗ e highlight được k ạ, e cảm ơn

 

[Lê.T.Hà]

Với [tex]a=0\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a+b}}\leq \sqrt{a}[/tex] đúng
Với [tex]a>0\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a+b}}\leq \frac{a}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}[/tex]
Làm tương tự với cái kia rồi cộng lại