Toán 9 Bất đẳng thức

[SieuNhanCuHanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tìm giá trị nhỏ nhất của P= [tex]\sum \sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}[/tex] với a,b,c là các số không âm thỏa mãn [tex]a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca) >0[/tex]

 

[Lena1315]

[tex]\sqrt{2}P=\sqrt{\frac{2ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{2bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{2ca}{c^2+a^2}}[/tex] [tex]=\frac{\sqrt{2ab(a^2+b^2)}}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{2bc(b^2+c^2)}}{b^2+c^2}+\frac{\sqrt{2ac(c^2+a^2)}}{c^2+a^2}[/tex] [tex] \geq \frac{2ab}{a^2+b^2}+\frac{2bc}{b^2+c^2}+\frac{2ac}{a^2+c^2}[/tex]
Xét [tex]Q=\sqrt{2}P+3 = \frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2}+\frac{b^2+c^2+2bc}{b^2+c^2}+\frac{c^2+a^2+2ca}{a^2+c^2}\geq \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+c^2}+\frac{(c+a)^2}{a^2+c^2}[/tex][tex]\geq \frac{(a+b+b+c+c+a)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{2[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]}{a^2+b^2+c^2}[/tex] [tex]=\frac{2.4(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}=4[/tex]
Từ đó dễ dàng suy ra [tex]minP = \frac{1}{\sqrt2}[/tex]
dấu bằng khi a=b; c=0 và các hoán vị