Toán 10 Bất đẳng thức

[K.o.w]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

\begin{array}{l} \mathit{Cho\ a,b,c\ là\ các\ số\ thực\ dương\ tùy\ ý.Chứng\ minh\ rằng}\\ \mathit{( a+b+c)^{3}( a+b-c)( a+c-b)( a+c-b) \leqslant 27a^{2} b^{2} c^{2}} \end{array}

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex]p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc[/tex]
Theo BĐT Schur bậc 4 thì ta có: [tex]p^4-5p^2q+4q^2+6pq \geq 0 \Rightarrow r \geq \frac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p}[/tex]
BĐT cần chứng minh tương đương với [tex]27r^2\geq p^3(p-2a)(p-2b)(p-2c)=p^3(-p^3+4pq-8r)\Leftrightarrow 27r^2+8rp^3+p^6-4p^4q\geq 0[/tex]
Thay r vào ta có:[tex]27r^2+8rp^3+p^6-4p^4q \geq 27(\frac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p})^2+8(\frac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p}).p^3+p^6-4p^4q=\frac{(p^2-4q)^2(p^2-3q)(5p^2-3q)}{12p^2}[/tex]
Vì [tex]p^2 \geq 3q[/tex] nên [TEX]\frac{(p^2-4q)^2(p^2-3q)(5p^2-3q)}{12p^2} \geq 0[/TEX](đpcm)