Ta có: [tex]\frac{4a^2+(b-c)^2}{2a^2+b^2+c^2}=\frac{2(2a^2+b^2+c^2)-2b^2-2c^2+b^2-2bc+c^2}{2a^2+b^2+c^2}=2-\frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}[/tex]
CMTT với 2 cái còn lại ta có bđt cần CM [tex]\Leftrightarrow 2-\frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}+2-\frac{(c+a)^2}{2b^2+a^2+c^2}+2-\frac{(a+b)^2}{2c^2+a^2+b^2}\geq 3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{(c+a)^2}{2b^2+a^2+c^2}+\frac{(a+b)^2}{2c^2+a^2+b^2}\leq 3[/tex]
Áp dụng bđt Cauchy dạng [tex]\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\geq \frac{(x+y)^2}{m+n}[/tex] ta được:
[tex]\frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}\leq \frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}[/tex]
CMTT với 2 cái còn lại rồi cộng vế với vế ta được:
[tex]\frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+c)^2}{2b^2+a^2+c^2}+\frac{(a+b)^2}{2c^2+a^2+b^2}\leq \frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}[/tex] =3
nên ta có ĐPCM
Dấu "=" xra khi a=b=c
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
