Toán 9 bất đẳng thức

[nguyenduykhanhxt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp mình với: @TranPhuong27 , @Mộc Nhãn
Cho [tex]a,b,c[/tex] là các số thực.Chứng minh [tex](a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{3(a+b+c)^2}{4}[/tex]

 

[TranPhuong27]

Dự đoán [tex]a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex], áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
[tex](a+b+c)^2=[(b+c).1+a.1]\leqslant (a^2+1)[(b+c)^2+1][/tex]
Cần chứng minh [tex]\frac{3(a+b+c)^2}{4}\leqslant \frac{3}{4}.(a^2+1)[(b+c)^2+1]\leqslant (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (b^2+1)(c^2+1)\geqslant \frac{3}{4}[(b+c)^2+1][/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4b^2c^2+b^2+c^2-6bc+1\geqslant 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2bc)^2-4bc+1+b^2+c^2-2bc\geqslant 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2bc-1)^2+(b-c)^2\geqslant 0[/tex] ( luôn đúng )
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex]x=\sqrt{2}a,y=\sqrt{2}b,z=\sqrt{2}c[/tex]
BĐT trở thành: [tex](\frac{x^2}{2}+1)(\frac{y^2}{2}+1)(\frac{z^2}{2}+1)\geq \frac{3(\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}+\frac{z}{\sqrt{2}})^2}{4}\Leftrightarrow (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)\geq 3(x+y+z)^2[/tex]
Ta có: [tex](x^2+2)(y^2+2)=x^2y^2+1+2x^2+2y^2+3\geq 2xy+x^2+y^2+(x^2+y^2)+3\geq (x+y)^2+\frac{(x+y)^2}{2}+3=\frac{3}{2}[(x+y)^2+2]\Rightarrow (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)\geq \frac{3}{2}[(x+y)^2+2](z^2+2)=\frac{3}{2}[z^2(x+y)^2+2z^2+2(x+y)^2+4]=\frac{3}{2}[z^2(x+y)^2+4+z^2+(x+y)^2+z^2+(x+y)^2]\geq \frac{3}{2}[4z(x+y)+2z^2+2(x+y)^2]=\frac{3}{2}.2(x+y+z)^2=3(x+y+z)^2[/tex](đpcm)