Toán 9 Bất Đẳng Thức

[Hoa sẽ nở vào ngày người đến]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác
Chứng minh rằng: 3a+b/ 2a+c + 3b+c/2b+a + 3c+a/2c+b >=4

 

[TranPhuong27]

BĐT cần chứng minh <=> [tex]\frac{3a+b}{2a+c}-1+\frac{3b+c}{2b+a}-1+\frac{3c+a}{2c+b}-1\geq 1[/tex]
<=> [TEX]\frac{a+b-c}{2a+c} + \frac{b+c-a}{2b+a} + \frac{c+a-b}{2c+b} \geq 1[/TEX]
<=> [TEX]\frac{(a+b-c)^2}{(2a+c)(a+b-c)} + \frac{(b+c-a)^2}{(2b+a)(b+c-a)} + \frac{(c+a-b)^2}{(2c+b)(c+a-b)} \geq 1[/TEX]
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
[TEX]VT \geq \frac{(a+b-c+b+c-a+c+a-b)^2}{(2a+c)(a+b-c)+(2b+a)(b+c-a)+(2c+b)(c+a-b)} = \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca} = 1[/TEX] ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra <=> [TEX]a=b=c[/TEX] <=> tam giác đó đều.