Toán 9 Bất đẳng thức

[Lena1315]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có
[tex]\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)} \geq \sqrt{abc} + \sqrt{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{2}}[/tex]

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex]p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc[/tex]
BĐT cần chứng minh trở thành [tex]\sqrt{pq}\geq \sqrt{r}+\sqrt{\frac{pq-r}{2}}\Leftrightarrow pq\geq r+\frac{pq-r}{2}+\sqrt{2r(pq-r)}\Leftrightarrow \frac{pq-r}{2}\geq \sqrt{2r(pq-r)}\Leftrightarrow pq-r\geq 2\sqrt{2r(pq-r)}\Leftrightarrow \sqrt{pq-r}\geq 2\sqrt{2r}\Leftrightarrow pq-r\geq 8r\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc[/tex](đúng theo AM-GM)