Toán 9 Bất đẳng thức

[Lena1315]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=3: Chứng minh rằng
[tex]2(a^2b+b^2c+c^2a)+3(a^2+b^2+c^2)+4abc \geq 19[/tex]

 

[Lena1315]

Mình có 1 cách mới nghĩ ra ^^:
Có: [tex]19=27-8=3(a+b+c)^2-8=3(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)-8[/tex]
-> bđt cần cm [tex]\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2abc+4 \geq 3(ab+bc+ca)= (a+b+c)(ab+bc+ca)=(a^2b+b^2c+c^2a)+(ab^2+bc^2+ca^2)+3abc[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4\geq ab^2+bc^2+ca^2+abc[/tex]
kmttq, giả sử [tex]a\geq b \geq c \rightarrow a(a-b)(b-c) \ge 0 \rightarrow ab^2+ca^2 \leq abc+a^2b[/tex]
[tex]\rightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc \leq a^2b+c^2b+2abc=b(a+c)^2=4b.(\frac{a+c}{2})^2 \leq 4 \left(\frac{b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{3}\right)^3=4[/tex]
-> đpcm. "=" <-> a=b=c=1