2) gọi 5 số tự nhiên bất kì đó là [tex]a_{1}, a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}[/tex] . không mất tính tổng quát, giả sử: [tex]a_{5}> a_{4}> a_{3}> a_{2}> a_{1}[/tex]
[tex]\Rightarrow a_{5}-a_{3}\geq 2;a_{4}-a_{2}\geq 2[/tex]
Theo đề ta có: [tex]a_{1}+a_{2}+a_{3}> a_{4}+a_{5}\Rightarrow a_{1}> a_{5}-a_{3}+a_{4}-a_{2}\geq 2+2=4\Rightarrow a_{1}> 4[/tex]
hay [tex]a_{1}\geq 5[/tex]
mà [tex]a_{5}> a_{4}> a_{3}> a_{2}> a_{1}\geq 5 [/tex]
nên ta có đpcm
1) Đặt [tex]a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}[/tex]
bđt đã cho [tex]\Leftrightarrow \frac{1}{\frac{1}{x}\sqrt{\frac{3}{x}+\frac{2}{y}}}+ \frac{1}{\frac{1}{y}\sqrt{\frac{3}{y}+\frac{2}{z}}}+ \frac{1}{\frac{1}{z}\sqrt{\frac{3}{z}+\frac{2}{x}}}\geq \frac{3}{\sqrt{\frac{5}{xyz}}}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{\frac{1}{x}\sqrt{\frac{3y+2x}{xy}}}+\frac{1}{\frac{1}{y}\sqrt{\frac{3z+2y}{yz}}}+\frac{1}{\frac{1}{z}\sqrt{\frac{3x+2z}{xz}}}\geq \frac{3\sqrt{xyz}}{\sqrt{5}}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{x\sqrt{xy}}{\sqrt{3y+2x}}+\frac{y\sqrt{zy}}{\sqrt{3z+2y}}+\frac{z\sqrt{xz}}{\sqrt{3x+2z}}\geq \frac{3\sqrt{xyz}}{\sqrt{5}}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{x}{2\sqrt{5z(3y+2x)}}+\frac{y}{2\sqrt{5x(3z+2y)}}+\frac{z}{2\sqrt{5y(3x+2z)}}\geq \frac{3}{10}[/tex]
Áp dụng Cauchy, mình làm mẫu 1 cái thôi nha:[tex]\frac{x}{2\sqrt{5z(3y+2x)}}\geq \frac{x}{5z+3y+2x}[/tex]
tương tự với 2 cái còn lại, thì ta được VT [tex]\geq \frac{x}{5z+3y+2x}+ \frac{y}{5x+3z+2y}+ \frac{z}{5y+3x+2z} \doteq \frac{x^2}{5xz+3xy+2x^2}+\frac{y^2}{5xy+3yz+2y^2}+\frac{z^2}{5yz+3xz+2z^2}[/tex][tex]\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2)+8(xz+yz+xy)}= \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+4(xy+yz+xz)}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+\frac{4(x+y+z)^2}{3}}=\frac{3}{10}[/tex]
Dấu = xra khi và chỉ khi a=b=c
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
