Toán 9 Bất đẳng thức

[0848410123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=xyz.CMR: [tex]\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq xyz[/tex]

 

[Lê.T.Hà]

[tex]VT=\sum \frac{4+2\sqrt{4(1+x^2)}}{4x}\leq \sum \frac{4+4+1+x^2}{4x}=\sum \frac{x^2+9}{4x}=\frac{1}{4}(x+y+z)+\frac{9}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )[/tex]
[tex]VT\leq \frac{1}{4}xyz+\frac{9}{4}\frac{xy+yz+zx}{xyz}\leq \frac{1}{4}xyz+\frac{3}{4}\frac{(x+y+z)^2}{xyz}=\frac{1}{4}xyz+\frac{3}{4}.\frac{(xyz)^2}{xyz}=xyz[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]x=y=z=\sqrt{3}[/tex]

 

[iiarareum]

[tex]\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}=\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}=\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}}=\frac{1}{x}+\sqrt{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z})=>VT\leq 3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/tex] [tex]=3\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{3(xy+yz+xz)}{x+y+z}\leq \frac{(x+y+z)^2}{x+y+z}=x+y+z=xyz[/tex]