Cho a,b số dương thỏa mãn[tex]\left ( a+b \right )^{3}+4ab\leq 12[/tex].CMR:[tex]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016[/tex]
[tex]12\geq (a+b)^3+4ab\geq (2\sqrt{ab})^3+4ab\Leftrightarrow 8(\sqrt{ab})^3+4ab\leq 12\Leftrightarrow 2(\sqrt{ab})^3+ab\leq 3[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{ab}=t(0< t\leq 1)[/tex]
Khi đó ta có: [tex]2t^3+t^2\leq 3\Leftrightarrow 2t^3-t^2-3\leq 0\Leftrightarrow (t-1)(2t^2+3t+3)\leq 0\Leftrightarrow t-1\leq 0\Leftrightarrow t\leq 1[/tex]
(vì [tex]2t^2+3t+3> 0 \forall t>0[/tex])
[tex]\Rightarrow 0< ab\leq 1[/tex]
Giờ ta cần đi CM: [tex]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}[/tex] với a,b>0, [tex]ab\leq 1[/tex]
Thật vậy bđt [tex]\frac{1}{1+a}- \frac{1}{1+\sqrt{ab}}+ \frac{1}{1+b}- \frac{1}{1+\sqrt{ab}}[/tex]
Đến đây rồi bạn tự quy đống các thứ đặt nhân tử chung cuối cùng nó ra 1 bđt: [tex]\frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2(\sqrt{ab}-1)}{(1+\sqrt{ab})(1+a)(1+b)}\leq 0[/tex] (bđt này luôn đúng với [tex] 0< ab\leq 1[/tex])
[tex]\frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\leq 2016[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{ab}=t(0< t\leq 1)[/tex]
bđt [tex]\Leftrightarrow \frac{2}{1+t}+2015t^2\leq 2016[/tex]
Chỗ này bạn cũng tự quy đồng chuyển vế cấc thứ cuối cùng nó đưa về bđt : [tex](t-1)(2015t^2+4030t+2014)\leq 0[/tex]
(bđt này cũng luôn đúng với [tex]0< t\leq 1[/tex]
Vậy ta có đpcm
Dấu "=" xra khi và chỉ khi a=b=1
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
