11. Theo nguyên lí Đi-rích-lê, trong 3 số a-1,b-1,c-1 tồn tại 2 số cùng dấu. Giả sử 2 số đó là b-1 và c-1.
Ta có:[tex](b-1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow bc+1\geq b+c[/tex]
Áp dụng BĐT Minkovsky ta có: [tex]\sum \sqrt{9+16a^2}\geq \sqrt{9+16a^2}+\sqrt{(3+3)^2+(4b+4c)^2}=\sqrt{9+16a^2}+\sqrt{36+16(b+c)^2}[/tex]
Cần chứng minh [tex]\sqrt{9+16a^2}+\sqrt{36+16(b+c)^2}\geq 3+4(a+b+c)(1)[/tex]
Thật vậy, (1) tương đương [tex]\sqrt{9+16a^2}+\sqrt{36+16(b+c)^2}-4(b+c)-3-4a\geq 0\Leftrightarrow \sqrt{9+16a^2}-3-4a+\frac{36}{\sqrt{36+16(b+c)^2}+4(b+c)}\geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{9+16a^2}-3-4a+\frac{36}{\sqrt{36+16(bc+1)^2}+4(1+bc)} \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{9+16a^2}-3-4a+\frac{36}{\sqrt{36+16(1+\frac{1}{a})^2+4+\frac{4}{a}}} \geq 0[/tex][tex]\sqrt{36+16(1+\frac{1}{a})^2}-4(1+\frac{1}{a})+\sqrt{9+16a^2}-3-4a \geq 0[/tex] [tex]\Leftrightarrow \sqrt{36+16(1+\frac{1}{a})^2}+\sqrt{9+4a^2}\geq 4a+\frac{4}{a}+7[/tex]
Tới đây biến đổi tương đương là ra...
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
