Toán 9 Bất đẳng thức

[Kudo^^Ti*Rd*Of*Work]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho các số thực dương a,b,c t/m a.b.c=1
c/m [tex]\frac{ab}{a^{4}+b^{4}+ab}+\frac{bc}{b^{4}+c^{4}+bc}+\frac{ca}{c^{4}+a^{4}+ca}\leq 1[/tex]

 

[shorlochomevn@gmail.com]

cho các số thực dương a,b,c t/m a.b.c=1
c/m [tex]\frac{ab}{a^{4}+b^{4}+ab}+\frac{bc}{b^{4}+c^{4}+bc}+\frac{ca}{c^{4}+a^{4}+ca}\leq 1[/tex]

áp dụng BĐT AM-GM có:
[tex]+,a^4+a^4+a^4+b^4\geq 4\sqrt[4]{a^{12}b^4}=4a^3b\\\\ +,a^4+3b^4\geq 4ab^3\\\\ => 4.(a^4+b^4)\geq 4ab.(a^2+b^2)\\\\ => a^4+b^4\geq ab.(a^2+b^2)\\\\ => \frac{ab}{a^4+b^4+ab}\leq \frac{1}{a^2+b^2+1}=\frac{1}{\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+1}\\\\ CMTT: +, \frac{bc}{b^4+c^4+bc}\leq \frac{1}{\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}+1}\\\\ +, \frac{ca}{a^4+c^4+1}\leq \frac{1}{\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}+1}\\\\ * (\frac{a}{bc};\frac{b}{ca};\frac{c}{ab})=(x^3;y^3;z^3)\\\\ => xyz=1\\\\ => VT\leq \frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\\\\ +, x^3+y^3\geq xy.(x+y)\\\\ => \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy.(x+y)+1}=\frac{z}{x+y+z}[/tex]
CMTT cộng các vế có đpcm
dấu "=" <=> a=b=c=1