Toán 9 Bất đẳng thức

[Nguyễn Bảo Thiên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Tìm min:
a) [tex]\frac{x^{6}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{6}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{6}}{z^{3}+x^{3}}[/tex] với x,y,z là các số dương thỏa mãn [tex]xy\sqrt{xy}+yz\sqrt{yz}+zx\sqrt{zx}=1[/tex]
b) [tex]\frac{1}{a(2b+2c-1)}+\frac{1}{b(2c+2a-1)}+\frac{1}{c(2a+2b-1)}[/tex] với [tex]0< a,b,c<\frac{1}{2}[/tex] thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1
2) Tìm max:
a) [tex]\frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}+1}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}+1}[/tex] với x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1
b) [tex]\frac{xy}{z+1}+\frac{yz}{x+1}+\frac{zx}{y+1}[/tex] với x,y,z là các số dương thỏa mãn: x + y + z = 1
3) Chứng minh: [tex]x^{3}+y^{3}\geq (x+y)xy[/tex] với x,y là các số thực dương

 

[shorlochomevn@gmail.com]

1) Tìm min:
a) [tex]\frac{x^{6}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{6}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{6}}{z^{3}+x^{3}}[/tex] với x,y,z là các số dương thỏa mãn [tex]xy\sqrt{xy}+yz\sqrt{yz}+zx\sqrt{zx}=1[/tex]
b) [tex]\frac{1}{a(2b+2c-1)}+\frac{1}{b(2c+2a-1)}+\frac{1}{c(2a+2b-1)}[/tex] với [tex]0< a,b,c<\frac{1}{2}[/tex] thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1
2) Tìm max:
a) [tex]\frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}+1}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}+1}[/tex] với x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1
b) [tex]\frac{xy}{z+1}+\frac{yz}{x+1}+\frac{zx}{y+1}[/tex] với x,y,z là các số dương thỏa mãn: x + y + z = 1
3) Chứng minh: [tex]x^{3}+y^{3}\geq (x+y)xy[/tex] với x,y là các số thực dương

1, a, áp dụng B.C.S có:
[tex]1=x\sqrt{x}.y\sqrt{y}+y\sqrt{y}.z\sqrt{z}+z\sqrt{z}.x\sqrt{x}\leq (x^3+y^3+z^3).(y^3+z^3+x^3)\\\\ => (x^3+y^3+z^3)^2\geq 1\\\\ => x^3+y^3+z^3\geq 1[/tex]
áp dụng B.C.S dạng phân thức có:
[tex]\frac{x^{6}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{6}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{6}}{z^{3}+x^{3}}\\\\ \geq \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{2.(x^3+y^3+z^3)}=\frac{x^3+y^3+z^3}{2}\geq \frac{1}{2}[/tex]
dấu "=" <=> x=y=z và giả thiết... thế vào tìm x;y;z...
b, [tex]\frac{1}{a(2b+2c-1)}=\frac{1}{a.(1-2a)}\geq \frac{1}{\frac{(a+1-2a)^2}{4}}=\frac{4}{(1-a)^2}\\\\[/tex]
*CM BĐT phụ: [tex]\frac{4}{(1-a)^2}\geq 27a\\\\ <=>.....\\\\ <=> (3a-1)^2.(3a-4)\leq 0 (luôn đúng)[/tex]
CMTT rồi cộng các vế....
2, a, [tex]\frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}\leq \frac{1}{xy.(x+y)+1}=\frac{z}{xzy.(x+y)+z}=\frac{z}{x+y+z}[/tex]
CMTT cộng các vế....
b, [tex]\frac{xy}{z+1}=\frac{xy}{x+z+y+z}\leq \frac{1}{4}.(\frac{xy}{x+z}+\frac{xy}{y+z})[/tex]
CMTT cộng các vế...
3, áp dụng Cauchy có: [tex]x^3+x^3+y^3\geq 3\sqrt[3]{x^3.x^3.y^3}=3x^2y\\\\\ y^3+y^3+x^3\geq 3xy^2\\\\ =>....[/tex]