Toán 8 bất đẳng thức

[võ sỹ quốc uy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 2 số thực thỏa mãn ab=1
cm: ( [tex]a+b[/tex][tex])\cdot (a^{5}+b^{5})[/tex] [tex]\geq 1[/tex]
hỏi dấu bằng xảy ra khi nào

 

[7 1 2 5]

Ta thấy: [tex]ab=1>0\Rightarrow[/tex]a,b cùng dấu.
+ [tex]a,b>0\Rightarrow (a+b)(a^5+b^5)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{a^5b^5}=4[/tex]
+ [tex]a,b<0\Rightarrow (a+b)(a^5+b^5)=(|a|+|b|)(|a^5|+|b^5|)\geq 2\sqrt{|ab|}.2\sqrt{|a^5b^5|}=4[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]a=b=\pm 1[/tex]

 

[võ sỹ quốc uy]

Ta thấy: [tex]ab=1>0\Rightarrow[/tex]a,b cùng dấu.
+ [tex]a,b>0\Rightarrow (a+b)(a^5+b^5)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{a^5b^5}=4[/tex]
+ [tex]a,b<0\Rightarrow (a+b)(a^5+b^5)=(|a|+|b|)(|a^5|+|b^5|)\geq 2\sqrt{|ab|}.2\sqrt{|a^5b^5|}=4[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]a=b=\pm 1[/tex]

mình ghi là lớn lơn hoặc bằng 1 mà bạn chứ có phải là 4 đâu

 

[Lê.T.Hà]

Bởi vì nếu bằng 1 thì đề của bạn hoàn toàn sai, ai mà chứng minh được 1 BĐT sai cơ chứ?

 

[mbappe2k5]

Ta thấy: [tex]ab=1>0\Rightarrow[/tex]a,b cùng dấu.
+ [tex]a,b>0\Rightarrow (a+b)(a^5+b^5)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{a^5b^5}=4[/tex]
+ [tex]a,b<0\Rightarrow (a+b)(a^5+b^5)=(|a|+|b|)(|a^5|+|b^5|)\geq 2\sqrt{|ab|}.2\sqrt{|a^5b^5|}=4[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]a=b=\pm 1[/tex]

Cứ cho là sửa đề bài rồi đi, mình vẫn góp thêm cách khác không cần xét âm, dương. Đây chính là cách làm mình đã trình bày trong kỳ thi MYTS lớp 8 năm 2019 (bài giống y hệt):
Ta có: [tex](a+b)(a^5+b^5)=a^6+ab^5+a^5b+b^6=(a^6+b^6)+ab(a^4+b^4)\geq 2a^3b^3+a^4+b^4\geq 2.1^3+2a^2b^2=2+2.1^2=4[/tex] (theo BĐT AM-GM).
Dấu bằng xảy ra khi [tex]a^3=b^3[/tex] và [TEX]a^2=b^2[/TEX] kết hợp với [TEX]ab=1[/TEX] suy ra [TEX]a=b=1[/TEX] hoặc [TEX]a=b=-1[/TEX].